1、第12讲 空间向量及应用1考题展望本节空间向量及应用是立体几何的重点考查内容，常常以解答题中一问形式考查角或距离的计算，大多可以用传统几何法和用空间向量求解，而且更侧重于后者，并有拓展为存在性、探索性题型趋势，解答时大多体现函数与方程思想2高考真题考题 1(2014 全国)如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面BB1C1C 为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1.(2)若 ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角 AA1B1C1 的余弦值【解析】(1)连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1CBC1，且 O 为 B1C 及BC1 的
2、中点 又 ABB1C，ABBOB，所以 B1C平面 ABO.由于 AO平面 ABO，故 B1CAO.又 B1OCO，故 ACAB1.(2)因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOABOC，故OAOB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直 以O为坐标原点，OB、OB1、OA 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又ABBC，OCOA，则A0，0，33，B(1，0，0)，B10，33，0，C(0，33，0)，AB10，33，33，A1B1 AB 1，0，33，B1C1 BC
3、 1，33，0.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则nAB1 0，nA1B1 0，即 33 y 33 z0，x 33 z0.所以可取n(1，3，3)设m是平面A1B1C1的法向量，则mA1B1 0，mB1C1 0.同理可取m(1，3，3)则cosn，m nm|n|m|17.所以二面角AA1B1C1的余弦值为17.【命题立意】知识：线面垂直的判定，二面角的向量求法能力：着重考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等试题难度：中等1求空间角(包括线线角、线面角、二面角)与距离(一般转化为点到面的距离)，是高考的重点和热点常用求法是：几何法和向量法2几何法求角，一般是把各种角转化为平面
4、内线线所成角后，解三角形求解解题步骤是：“作”、“证”、“求”三步解题时要做到层次书写清晰，计算正确，提高解题效率注意：二面角是本节难点，几何法求二面角的方法比较多，常见的有：(1)定义法，过棱上的点在二个面内分别作棱的垂线；(2)三垂线求解，过二面角一个面内的点分别作棱和另一个面的垂线；(3)垂面法，过棱上的点作棱的垂面，也可找两个面的某个面的垂面，再转化为三垂线法求解3向量法求角，一般是把各种角转化为两向量的夹角后，用公式计算出角解题步骤主要是建系、设点、计算有关向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算4关于距离的计算，一般转化为点到面的距离，除几何法(能作出距离，“作”、“证”、“求”三步求
5、解)，向量法(可建系，用向量法求解)外，要注意“等积求高”法(变换顶点，可求有关几何体体积时用)1空间向量及其运算例1(1)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cosDP，AE 33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A(1，0，1)B(1，1，1)C(2，1，1)D(2，0，1)【解析】选B.设PDa，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E 1，1，a2，DP(0，0，a)，AE 1，1，a2，由cosDP，AE33，a22a2a24 33，a2.E的坐标为(1，1，1)(2)正四面体 AB
6、CD 的棱长为 1，G 是ABC 的中心，M 在线段 DG 上，且AMB90，则 GM的长为()A.12B.22C.33D.66【解析】选 D.解法一：取 AB 的中点 N，由正四面体的对称性可知AMB 为等腰三角形，MN12AB12.又 G 为ABC 的中心，NG36，故 MG MN2NG2 66.解法二：设DA a，DB b，DC c，AM AD DG a3(abc)31 a3b3c，BM BA AM(ab)31 a3b3c 3a31 b3c.由AM BM 0，abbcac12，可解得12.|MG|12|DG|66.【点评】用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要
7、正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则在立体几何中要灵活运用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立2空间角的分析与计算例2如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是 3，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD.(2)求二面角A1BDA的大小(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值【解析】解法一：(1)设 AB1 与 A1B 相交于点 P，则P 为 AB1 中点，连接 PD，D 为 AC 中点，PDB1C.又PD平面 A
8、1BD，B1C平面 A1BD.B1C平面 A1BD.(2)正 三 棱 柱ABC A1B1C1，AA1底面 ABC.又 BDAC，A1DBD，A1DA 就是二面角 A1BDA 的平面角 AA1 3，AD12AC1，tanA1DAA1AAD 3.A1DA3，即二面角 A1BDA 的大小是3.(3)由(2)作 AMA1D，M 为垂足 BDAC，平面 A1ACC1平面 ABC，平面A1ACC1平面 ABCAC，BD平面 A1ACC1，AM平面 A1ACC1，BDAM，A1DBDD，AM平面 A1DB，连接 MP，则APM 就是直线 AB1 与平面 A1BD 所成的角 AA13，AD1，在RtAA1D中
9、，A1DA3，AM1sin 60 32，AP12AB1 72.sinAPMAMAP 3272 217.直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为 217.解法二：(1)同解法一(2)建立如图空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，3)，B(0，3，0)，B1(0，3，3)，A1B(1，3，3)，A1D(1，0，3)，设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)则nA1B x 3y 3z0，nA1D x 3z0，则有x 3zy0，得 n(3，0，1)由题意，知AA1(0，0，3)是平面 ABD 的一个法向量 设 n 与AA1 所成角为，则 cos nAA1|n|AA1|1
10、2，3.二面角 A1BDA 的大小是3.(3)由已知，得AB1(1，3，3)，n(3，0，1)，设直线 AB1 与平面 A1BD 所成角为，则 sin|AB1 n|AB1|n|217.直线 AB1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为217.【点评】用向量法求空间角的关键之一就是要根据题意建立恰当的空间直角坐标系，难点是确定空间角的范围，这都需要把握好题中的线面垂直关系，因此运用向量法解立体几何问题同样需要重视空间想象能力的培养3空间距离的分析与计算例3 如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是_【解析】33
11、 a 设M(0，m，m)(0ma)，AD1(a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s 22，0，22，MD1(0，m，am)，故点M到直线AD1的距离 d|MD1|2|MD1 s|2 m2（am）212（am）232m2am12a2，根式内的二次函数当m a232a3时取最小值32a32aa312a213a2，故d的最小值为 33 a.例4 如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.(1)求证：ABFG.(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段P
12、H的长【解析】(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因为 PA底面 ABCDE，所以 PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，BC(1，1，0)设平面 ABF 的法向量为 n(x，y，z)，则 nAB 0，nAF 0，即x0，yz0.令 z1，则 y1，所以 n(0，1，1)设直线 BC 与平面 ABF 所成角为，则 sin|cosn，BC|nBC|n|BC
13、|12.因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为6.设点 H 的坐标为(u，v，w)因为点 H 在棱 PC 上，所以可设PH PC(00，则zB2，故B(0，2，2)，所以E(0，1，1)在CD上取点G，设G(x1，y1，0)，使GECD，由 CD(2，2，0)，GE(x1，y11，1)，CD GE 0，故 2x12(y11)又点G在直线CD上，即CG CD，由CG(x1，y12，0)，则有 x12y122 联立、，解得 G23，43，0.故GE 23，13，1.又由 ADCD，所以二面角 ECDA 的平面角为向量GE 与向量DA 所成的角，记此角为.因为|GE|2 33，DA(0，0，
14、1)，|DA|1，GE DA 1，所以 cos GE DA|GE|DA|32.故所求的二面角的大小为6.【点评】立体几何中空间距离的计算现在一般涉及的是点面距离的计算，方法之一是定义法，方法之二是转化法，即转化为锥体的高来计算1常用空间关系与向量运算之间的关系：利用abab0来求证线线垂直；利用ab|a|b|cosa，b，求cosa，bab|a|b|，求两直线的夹角；利用|a|2aa，求解有关线段的长度问题或利用|AB|AB|cosa，e，(其中，AB a，e是与直线l同方向的单位向量)，求线段AB在l上的射影长AB.向量作为沟通“数”和“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体2空间角的
15、计算方法都是转化为平面角来计算两条异面直线所成的角，要以运动的观点运用“平移法”，使之成为相交直线所成的角，要充分挖掘图形的性质，寻求平行关系；斜线与平面所成的角，往往是在斜线上取一点向平面引垂线，再解由斜线、垂线、射影所围成的直角三角形这里关键是引平面的垂线，明确垂足的位置；求二面角的方法主要有定义法、线面垂直法、射影面积法、向量法等3空间距离：点与点之间的距离、点线之间的距离、两平行线之间的距离利用平面几何知识可以解决；点面距离、线面距离、面面距离都可转化为求点面距离4在求空间角或空间距离时，经常会遇到过空间中一点A作已知平面的垂线的问题解决这类问题时，如果已知图形中有平面的垂线，就只需过
16、点A作已知垂线的平行线即可；否则可以过点A作一个平面与平面垂直，再利用平面垂直的性质定理达到过点A作平面的垂线的目的5空间角与空间距离的计算都分为三步：“一找、二证、三计算”立体几何中的计算题必须有推理过程，考生往往只注意计算，不注意推理，造成不必要的丢分1如图，在四面体OABC中，已知ACBC，|OA|3，|OB|1，则OC BA()A8 B6C4 D3【解析】选 C.如图，取 AB 的中点 D，ACBC，ABDC，OCOD DC，又OD 12(OA OB)，OC BA (OD DC)BA OD BA 12(OA OB)(OA OB)12(OA 2OB 2)12(91)4.2已知三棱柱ABC
17、A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.13B.23C.33D.23【解析】选B.如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系如图设ABC边长为1，则 A33，0，0，B1 32，12，63，AB1 5 36，12，63.平面ABC的法向量n(0，0，1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为 sin|cosAB1，n|6375361469 23.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60，则AD
18、的长为()A.2B.3C2 D.22【解析】选A.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)设ADa，则D点坐标为(1，0，a)，CD(1，0，a)，CB1(0，2，2)设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)则mCB1 0mCD 02y2z0 xaz0，令z1，得m(a，1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0，1，0)，则由cos 60 mn|m|n|，得1a2212，即a 2，故AD 2.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的
19、中点，则sin CM，D1N的值为_【解析】4 59 设正方体的棱长为 2，以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM(2，2，1)，D1N(2，2，1)，cosCM，D1N CM D1N|CM|D1N|19，sinCM，D1N 4 59.5P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_【解析】90 不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F.EPMFPN45，PE 22 a，PF 22 b，EM FN(PM PE)(PN PF)PM PN PM
20、 PFPEPN PEPF abcos 60a 22 bcos 45 22 abcos 4522 a 22 b ab2 ab2 ab2 ab2 0，EM FN，二面角AB的大小为90.6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上当APC最大时，三棱锥PABC的体积为_【解析】118 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设BP BD1，可得P(，)，再由cosAPCAPCP|AP|CP|可求得当13时，APC最大，故VPABC13121113 118.7如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA122，C
21、1H平面AA1B1B，且C1H 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点 依题意得 A(2 2，0，0)，B(0，0，0)，C(2，2，5)，A1(2 2，2 2，0)，B1(0，2 2，0)，C1(2，2，5)(1)易得AC(2，2，5)，A1B1(2 2，0，0)，于是 cos AC，A1B1 AC A1B1|AC|A1B1|432 2 23，所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 23
22、.(2)易知 AA1(0，22，0)，A1C1(2，2，5)设平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，则mA1C1 0，mAA1 0即 2x 2y 5z0，2 2y0.不妨令x 5，可得m(5，0，2)同样地，设平面A1B1C1的法向量n(x，y，z)，则nA1C1 0，nA1B1 0，即 2x 2y 5z0，2 2x0.不妨令y 5，可得n(0，5，2)，于是cos m，n mn|m|n|27 727.从而sinm，n3 57，所以二面角AA1C1B1的正弦值为3 57.(3)由N为棱B1C1的中点，得N22，3 22，52.设M(a，b，0)，则MN 22 a，3 22 b，52.由MN平
23、面A1B1C1，得MN A1B1 0，MN A1C1 0，即 解得a 22，b 24.故M22，24，0，因此BM 22，24，0.所以线段BM的长|BM|104.8如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD 3，F为PC的中点，AFPB.(1)求PA的长；(2)求二面角BAFD的余弦值【解析】(1)如图，连接BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O为坐标原点，OB，OC 的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则OCCDcos31，而AC4，得AOACOC3，又ODCDsin 3 3，
24、故A(0，3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(3，0，0)因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)，由F为PC边中点，F0，1，z2.又 AF 0，2，z2，PB(3，3，z)，因AFPB，故AF PB 0，即6z22 0，z2 3(舍去2 3)，所以|PA|2 3.PA的长为2 3.(2)由(1)知AD(3，3，0)，AB(3，3，0)，AF(0，2，3)设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n1AD 0，n1AF 0，得 3x13y10，2y1 3z10，因此可取n1(3，3，2)由n2AB 0，n2AF 0，得 3x23y20，2y2 3z20，故可取n2(3，3，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为 cosn1，n2 n1n2|n1|n2|18.故二面角BAFD的余弦值为18.
