1、第9讲 概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差1考题展望高考对互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的考查，一般是以综合题的形式综合考查，以其中一小问考查互斥事件或独立事件的概率的计算，另一小问考查随机变量的分布列和数学期望，试题难度中档，同时考查考生的运算求解能力和必然或然的数学思想，考查考生思维的全面性与深刻性，以及阅读理解能力和数据收集处理能力，考查分值12分，是大多数考生的得分点之一2高考真题考题1(2013全国新课标)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3
2、，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 12，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1
3、件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E(AC)(BD)，且AC与BD互斥，P(E)P(AC)P(BD)P(A)P(C|A)P(B)P(D|B)C341231212412412 364，(2)X的可能取值为400，500，800，并且 P(X400)1C34123121241116，P(X500)116，P(X800)C341231214，X的分布列为 X 400500800 P 111611614E(X)4001116500 11680014506.25.【命题立意】考查离散型随机变量的分布列和数学期望，在依题设分析随机变量的可能值时，既要获得取值相应的数据，又要分析取
4、得该值时相应的情况，以便准确计算其概率1独立、互斥、对立事件的概率(1)事件A，B是相互独立事件，它们同时发生记作AB；两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)P(A)P(B)，并能推广到n(n3)个(2)如果事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)，并能推广到n(n3)个(3)对立事件的概率的和为1，即P(A)P(A)1，它的变式为P(A)1P(A)求事件积的概率必须注意事件的独立性；求事件和的概率必须注意事件是否互斥2独立重复试验(1)如果在1次试验中某事件发生的概率为p，那么
5、在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)Cknpk(1p)nk.(2)要注意恰有k次发生和某指定的k次发生的差异，对独立重复试验来说，前者的概率为C kn pk(1p)nk，后者的概率为pk(1p)nk.3离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)主干知识：随机变量的可能取值，分布列，期望，方差，二项分布，超几何分布(2)基本公式：E x1p1x2p2xnpn.D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn.E(ab)aEb，D(ab)a2D.B(n，p)，则 P(k)Cknpk(1p)nk，E np，D np(1p)1独立重复试验及二项分布例1 某射手每次射击击中目标的概
6、率是 23，且各次射击的结果互不影响(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分，若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总得分数，求的分布列【解析】(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则XB5，23，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X2)C252321233 40243.(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1，2，3，4，5)；“射手在5次射击
7、中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则 P(A)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)2331321323313132233 881.(3)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i1，2，3)由题意可知，的所有可能取值为 0，1，2，3，6，P(0)P(A1A2A3)133 127；P(1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)2313213231313223 29；P(2)P(A1A2A3)231323 427；P(3)P(A1A2 A 3)P(A 1A2A3)2321313232 827；P(6)P(A1A2A3
8、)233 827.所以的分布列是：01236 P12729427827827E0 1271 6272 4273 8276 8278627.【点评】二项分布相应的试验为独立重复试验，审题时应思考试验模式是否具有独立重复试验特征，若具有则相应的分布为二项分布，由此可简化解答过程2超几何分布例2某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元【解析】
9、设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i0，1，2，3)与Bj(j0，1)独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)C13C24C37 1835.其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且 P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)C33C37 13 1105，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)C33C3723 2105，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)C23C14C37 13 12105 435，P
10、(X0)1 1105 2105 43567.【点评】超几何分布的题设情境特征是总体可划分为二类，所求分布的随机变量是由其中的一类所抽取的元素个数的变化而确定的，在整体抽取时，已知该类元素抽取了多少，但不知道是第几次抽到综上知X的分布列为 X 01050200 P6743521051105从而有E(X)0 67 10435 502105 200 11054(元)3随机变量的分布列和期望例3某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为合格品，小于 82为次品现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70，76)76，82)82，88)88，
11、94)94，100)芯片甲81240328芯片乙71840296(1)试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；【解析】(1)芯片甲为合格品的概率约为4032810045，芯片乙为合格品的概率约为4029610034.(2)生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元在(1)的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率(2)随机变量X的所有可能取值为90，45，30，15.P(X90)453435，P(X45)1534 320，P
12、(X30)451415，P(X15)1514 120，所以，随机变量X的分布列为 X90453015 P3532015120 随机变量X的数学期望E(X)90 35 45 320 301515 12066.设生产的5件芯片乙中合格品有n件，则次品有(5n)件 依题意，得50n10(5n)140，解得n196.所以n4或n5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则P(A)C4534414345 81128.【点评】求解离散型随机变量的分布列和数学期望，在依题设分析随机变量的可能值时，既要获得取值相应的数据，又要分析取得该值时相应的情况，以便准确计算其概率备选题例4工作人员需进
13、入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟如果前一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为 p1，p2，p3，假设 p1，p2，p3 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？【解析】(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1p1)(1p2)(1p3)，(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q
14、1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)E(X)；(3)假定1p1p2p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1(1p1)(1p2)(1p3)p1p2p3p1p2p2p3p3p1p1p2p3.(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量X的分布列为 X123 Pq1(1q1)q2(1q1)(1q2)所需派出的人员数目的均值(数学期望)是 E(X)q12(1q1)q23(1q1)(1q2)3
15、2q1q2q1q2.(3)解法一：由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，E(X)32p1p2p1p2.根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值 下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列q1，q2，q3 都有32q1q2q1q232p1p2p1p2.(*)事实上，(32q1q2q1q2)(32p1p2p1p2)2(p1q1)(p2q2)p1p2q1q2 2(p1q1)(p2q2)(p1q1)p2q1(p2q2)(2p2)(p1q1)(1q1)(p2q2)(1q1)(p1p2)(q1q2)0，即(*)成立 解法二：可将(2)中所求的 E(X)改写为
16、3(q1q2)q1q2q1，若交换前两人的派出顺序，则变为 3(q1q2)q1q2q2，由此可见，当 q2q1 时，交换前两人的派出顺序可减小均值 也可将(2)中所求的 E(X)改写为 32q1(1q1)q2，若交换后两人的派出顺序，则变为 32q1(1q1)q3，由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当 q3q2 时，交换后两人的派出顺序也可减小均值 综合可知，当(q1，q2，q3)(p1，p2，p3)时，E(X)达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查
17、在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识1求复杂事件的概率，一般有两种方法：(1)直接求解：将所求事件的概率分成一些彼此互斥事件的概率之和；(2)间接求解：先求出此事件的对立事件概率，再用公式P(A)1P(A)，即运用“正难则反”的方法求解常见题型为含“至多”、“至少”等问题2解决概率问题的一般步骤可概括如下：第一步：确定事件的性质，等可能事件、互斥事件、几何概型、独立事件或独立重复试验第二步：判断事件的运算为积事件还是和事件第三步：运用公式，等可能性事件：P(A)mn；互斥事件：P(AB)P(A)P(B)；独立事件：P(AB)P(A)P
18、(B)；n 次独立重复试验：Pn(k)Cknpk(1p)nk.3离散型随机变量的分布列，期望与方差问题往往是以实际应用性问题形式出现，理解题意是解题关键，运用分类讨论思想进行思考，通过合理分类寻找随机变量的可能取值，准确计算随机变量相应的概率，因此努力培养阅读理解能力，准确迅速的运算能力和分析问题以及解决问题的思维能力显得十分重要1一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2125【解析】选C.由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故
19、P(X4)C23C19C312 27220.2设随机变量B(2，p)，B(4，p)，若P(1)59，则P(2)的值为()A.3281B.1127C.6581D.1681【解析】选B.因为随机变量B(2，p)，B(4，p)，又P(1)1P(0)1(1p)259，解得p13，所以B 4，13，则P(2)1P(0)P(1)11134C14113313 1127.3设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X101 P0.512qq2则q等于()A1 B1 22C1 22D1 22【解析】选C.由分布列的性质得：12q0q200.512qq21 0q12，q1 22.q1 22.4从1，2，3，4，5中任
20、取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A.18B.14C.25D.12【解析】选B.P(A)C23C22C25 410，P(AB)C22C25 110.由条件概率计算公式，得P(B|A)P（AB）P（A）11041014.5随机变量X的概率分布规律为P(Xk)ck（k1），k1，2，3，4，其中c是常数，则P12X52 的值为()A.23B.34C.45D.56【解析】选D.由题意，得c2c6 c12 c201，即c54，于是 P12X52 P(X1)P(X2)c2c623c235456.6将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数
21、比反面出现的次数多的概率为_【解析】1132 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率PC 46 126C 56 126C661261132.7两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_【解析】512 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)23，P(B)34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(A B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)23134123 34 512.8某师范大学决定从n位优秀毕业生(包括x
22、位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批实习教师每一位学生被派的机会是相同的(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出n与x的值；(2)在(1)的条件下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列【解析】(1)从n位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批实习教师的总结果数为C 2nn（n1）2，2位学生中恰有1位女学生的结果数为C 1n3 C 13(n3)3.依题意可得C1n3C13C2n（n3）3n（n1）235，化简得 n211n300，解得n15，n26.当n5时，x532；当n6时，x633，故所求的值为n5x2或n6x3.(2)当n5
23、x2 时，X可能的取值为0，1，2.X0表示只选派2位男生，这时P(X0)C02C23C25 310，X1表示选派1位男生与1位女生，这时 P(X1)C12C13C25 35，X2表示选派2位女生，这时P(X2)C22C25 110.X的分布列为：X012 P31035110 当n6x3 时，X可能的取值为0，1，2.X0表示只选派2位男生，这时P(X0)C23C03C26 15，X1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X1)C13C13C26 35，X2表示选派2位女生，这时P(X2)C23C03C26 15.X的分布列为：X012 P1535159.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C
24、 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列【解析】(1)设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件 因为 P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知 红队至少两人获胜的事件有：由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 0.60.50.5 0.60.50.5 0.
25、40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意知 可能的取值为 0，1，2，3.是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式得 P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列为0123 P0.10.350.40.1510.为回馈顾客，某商场拟通过模球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个
26、均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由【解析】(1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X60)C11C13C24 12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X60)12，P(X20)C23C2412，即X的分
27、布列为 X2060 P0.50.5 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)200.5600.540(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(
28、20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X12060100 P162316 X1的期望为E(X1)20 16 60 23 100 16 60，X1的方差为D(X1)(2060)2 16(6060)2 23(10060)2161 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X240 60 80 P162316 X2的期望为E(X2)40166023801660，X2的方差为D(X2)(4060)2 16(6060)2 23(8060)2164003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
