1、第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号基本不等式的理解1,2利用基本不等式求最值3,4,5,8,11,12基本不等式的实际应用7,10基本不等式的综合应用6,9,13,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.下列不等式一定成立的是(C)(A)lg(x2+)lg x(x0)(B)sin x+2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D)0时,x2+2x=x,A正确;sin x的正负不定,B不正确;选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.故选C.2.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能
2、够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(D)(A)(a0,b0)(B)a2+b22ab(a0,b0)(C)(a0,b0)(D)(a0,b0)解析:由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=,又OC=OB-BC=-b=,则FC2=OC2+OF2=+=,再根据题图知FOFC,即.故选D.3.(2017安徽马鞍山模拟)设x0,y0,且2x+y=6,则9x+3y有(D)(A)最大值27 (B)最小值27(C)最大值54 (D)最小值54解析:因为x0,y0,且2x+y=6,所以9x+3y2=
3、2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54.故选D.4.已知ab,且ab=1,则的最小值是(D)(A)3(B)2+(C)2(D)2解析:由ab=1可得=a-b+2=2.(当a-b=时取等号).故选D.5.(2017江西省抚州市临川一中4月模拟)直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为(C)(A)1 (B)-1(C)+ (D)+1解析:由直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,可知=1,即a2+b2=1,因为=,ab=(当且仅当a=b时取等号),所以a+b+ab+.故选C.6.导学号 94626180(2017四川雅安三诊)对一切实数x,不等
4、式x2+a|x|+10恒成立,则实数a的取值范围是(B)(A)(-,-2)(B)-2,+)(C)-2,2(D)0,+)解析:当x=0时,aR,当x0时,a=-|x|-,又-|x|-2,当且仅当|x|=1时取得等号,故a-2.故选B.7.(2017江西五市八校第二次联考)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为(B)(A)4 (B)8(C)4(D)8解析:由题意可得p=10,p-c=
5、2,三角形的面积:S=8,当且仅当a=b=6时等号成立,此三角形面积的最大值为8.故选B.8.(2017安徽省淮南市二模)已知正数x,y满足x+2y-2xy=0,那么2x+y的最小值是.解析:由x+2y-2xy=0得+=2,所以(2x+y)=(2x+y)(+)=+2=(当x=y=时取等号).答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2017河南平顶山一模)若对于任意的x0,不等式a恒成立,则实数a的取值范围为(A)(A),+)(B)(,+)(C)(-,)(D)(-,解析:由x0,=,令t=x+,则t2=2,当且仅当x=1时,t取得最小值2,取得最大值,所以对于任意的x0,不等式a恒成立,则a.故选
6、A.10. (2017山西三区八校二模)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB=60,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为(D)(A)(1+)米(B)2米(C)(1+)米(D)(2+)米解析:由题意设BC=x(x1)米,AC=t(t0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得t=(x1),即t=x-1+2,因x1,故t=x-1+22+(当且仅当x=1+时取等号),此时t取最小值2+.故选D.11.
7、(2017福建南平一模)已知x,y都是非负实数,且x+y=2,则的最小值为(B)(A)(B)(C)1(D)2解析:因为x,y都是非负实数,且x+y=2,所以x+2+y+4=8.所以82,化为,当且仅当x=2,y=0时取等号.则=.其最小值为.故选B.12.已知x2+4xy-3=0,其中x0,yR,则x+y的最小值是.解析:由x2+4xy-3=0,得y=,即有x+y=x+=(x+),因为x0,所以x+2,即x+y,当且仅当x=,即x=1,y=时,x+y取到最小值.答案:13.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+4,解之得m4或m0,所以t=3是方程t2-2t-6=0的根,所以a=2.答案:215.若x,y,a(0,+),且+a恒成立,则a的最小值是.解析:由题意x,y,a(0,+),且+a恒成立,故有x+y+2a2(x+y),即a2-1,由于=1,即a2-11,解得a,则a的最小值是.答案:
