1、第4节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程2,4,7椭圆的几何性质1,3,5,6,8,9直线与椭圆的位置关系10,11,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.(2017四川遂宁模拟)椭圆+=1的焦距为2,则m的值是(D)(A)6或2(B)5(C)1或9(D)3或5解析:由题意,得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3,所以m的值是3或5,故选D.2.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为(A)(A)4(B)3(C)2(D)5解析:
2、由题意知|OM|=|PF2|=3,所以|PF2|=6,所以|PF1|=25-6=4.选A.3.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为(C)(A)9 (B)1(C)1或9 (D)以上都不对解析:解得a=5,b=3,c=4.所以椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+c=9或a-c=1. 选C.4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为(C)(A)+y2=1 (B)x2+=1(C)+=1 (D)+=1解析:依题意,设椭圆方程为+=1(ab0),则有由此解得a2=20,b2=5,因此所求的椭圆方程是+=1
3、,选C.5.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为(D)(A)1(B)(C)2(D)2解析:设a,b,c分别为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距,依题意知,当三角形的高为b时面积最大,所以2cb=1,bc=1,而2a=22=2(当且仅当b=c=1时取等号),故选D.6.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(C)(A)(0,1)(B)(0,(C)(0,)(D),1)解析:因为满足=0的点M在圆x2+y2=c2上,所以圆x2+y2=c2在椭圆内部,即cb,所以c2b2=a2-c2,2c2a2,所以e20,n0且m
4、n).因为椭圆经过点P1,P2,所以点P1,P2的坐标适合椭圆方程.则得所以所求椭圆方程为+=1.答案:+=18.椭圆:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.解析:由直线方程为y=(x+c),知MF1F2=60,又MF1F2=2MF2F1,所以MF2F1=30,MF1MF2,所以|MF1|=c,|MF2|=c.所以|MF1|+|MF2|=c+c=2a.即e=-1.答案:-1能力提升(时间:15分钟)9.导学号 94626205从椭圆+=1(ab0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F
5、1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且ABOP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可设P(-c,y0)(c为半焦距),kOP=-,kAB=-,由于OPAB,所以-=-,y0=,把P(-c,)代入椭圆方程得+=1,得()2=,所以e=.选C.10.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立椭圆方程解得交点为(0,-2),(,),所以SOAB=|OF|yA-yB|=1=,
6、故选B.11.(2017河北唐山期末)设F1,F2为椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为.解析:由题意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,又由椭圆的定义知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,联立,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=a,|AF1|=|BF1|=a,所以=|AB|AF2|sin 60=4,所以a=3,|F1F2|=|AB|=2,所以c=,所以b2=a2-c2=6,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=112.(2017深圳一模)已知椭圆C:+=1(
7、ab0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是AB中点,且Q点的坐标为(,0),当QMAB时,求直线l的方程.解:(1)由题意可知,a2+b2=5,又e=,a2=b2+c2,所以a=,b=,所以椭圆C的方程为C:+=1.(2)若直线l的斜率不存在,此时M为原点,满足QMAB,所以,方程为x=0,若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程与椭圆方程联立可得即(2+3k2)x2+12kx+6=0,可得设M(x0,y0),则x0=,y0=k+2=,由QMAB可知k=-1
8、,化简得3k2+5k+2=0,解得k=-1或k=-,将结果代入=72k2-480验证,舍掉k=-,此时,直线l的方程为x+y-2=0,综上所述,直线l的方程为x=0或x+y-2=0.13.导学号 94626206如图,椭圆E:+=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解:由题设知e=,b=1,又a2=b2+c2,解得a=.所以椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=,x1x2=.从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)(+)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.
