1、第一章1.1 (二)(建议用时：40分钟)对应题号考点基础训练能力提升1.计数问题1,106,112.涂色(种植)问题2,812,133.选(抽)取与分配问题3,4,5,79一、选择题1已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，选取其中一条直线和任意一点组成一个平面，则可以确定不同的平面个数为()A40B16C13D10C解析分两类：第一类，直线a与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面故可以确定8513个不同的平面2现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为()A24
2、B30C36D48D解析由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，最后给下面一块着色，有2种结果根据分步计数原理知，共有432248种结果35名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是()A54B45C5432D54B解析5名学生每人都选一个知识讲座，则每人都有4种选择由分步乘法计数原理知共有4444445种选择4安排6名歌手的演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是()A180B240C360D480D解析第一步
3、，先排甲、乙、丙，使乙、丙都在甲的前面或后面，共有4种排法；第二步，把丁插入到这三人形成的4个空位中，共有4种排法；第三步，把戊插入到前4人形成的5个空位中，共有5种排法；第四步，把己插入到前5人形成的6个空位中，共有6种排法所以共有排法4456480种56位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学数为()A1或3B1或4C2或3D2或4D解析设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示若任意两位同学之间都进行交换，须要进行5432115次交换，现只进行了13次交换，说明有2次交
4、换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如ab和ac之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人(2)由4人构成的2次交换，如ab和cd之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，d四人6如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数为()A240种B204种C729种D920种A解析分8类，当中间数为2时，有122种；当中间数为3时，有236种；当中间数为4时，有3412种；当中间数为5时，有4520种；当中间数为6时，有5630种；当中间数为7时，有6742种；当中间数为8时，
5、有7856种；当中间数为9时，有8972种故共有26122030425672240种二、填空题7从集合1,2,3，10中，选出5个不同的数组成子集，且使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集共有_个解析因为11011,2911,3811,4711，5611，所以从这5组数中各取一个数组成的集合符合题意，根据分步乘法计数原理，共有2532个答案328如图，用n种不同的颜色为右侧广告牌着色，要求在四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色，若为广告牌着色的不同方法共有480种，则n_.解析由分步乘法计数原理，可知对区域按顺序着色，共有n(n1)(n2)(n2)480种，可求得n
6、6.答案69从3，2，1,0,1,2,3中任取3个不同的数作为抛物线方程yax2bxc(a0)的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共_条解析由抛物线过原点知c0，顶点在第一象限知a0，b0.分三步：a可取值3，2，1，有三种方法；b可取值1,2,3，有三种方法；c0.故共有3319条不同的抛物线符合题意答案9三、解答题10某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从6名教师A，B，C，D，E，F中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一人，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？解析分两类：第一类，A上第一节课，则第四节课
7、只能由C上，其余两节课由其他人上，有4312种安排方案；第二类，B上第一节课，则第四节课有2种安排方案，其余两节课由其他人上，有24324种安排方案根据分类加法计数原理，不同的安排方案共有122436种11求正整数540的正约数有多少个？解析由于54022335，故540的正约数形式为2a3b5c，其中a，b，cN，且0a2,0b3,0c1.所以确定540的正约数分三步完成第一步，取a有3种方法；第二步，取b有4种方法；第三步，取c有2种方法故由分步乘法计数原理知有34224种方法所以540的正约数有24个12如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种
8、颜色且相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？解析给4个格子编号如图所示， 由题意知号格子有6种不同的涂色方法，号格子有5种不同的涂色方法，若号格子与号格子同色，则号格子有5种不同的涂色方法(可以与号同色)，由乘法原理有655150种涂色方法；若号格子与号格子不同色，则号格子有4种不同的涂色方法，此时号格子只能与号或号同色，因而有2种涂色方法，由乘法原理有6542240种涂色方法由加法原理知，共有150240390种不同的涂色方法四、选做题13如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相
9、邻区域颜色不同，则区域A，C涂色不相同的概率为()A B C DD解析根据题意和图形可知，5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：对于区域A，有5种颜色可选；对于区域B，与区域A相邻，有4种颜色可选；对于区域E，与区域A，B相邻，有3种颜色可选；对于区域D，C，若D与B颜色相同，区域C有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，区域D有2种颜色可选，区域C有2种颜色可选，则区域D，C有3227种选择，则不同的涂色方案有5437420种其中区域A，C涂色不相同的情况有：对于区域A，有5种颜色可选；对于区域B，与区域A相邻，有4种颜色可选；对于区域E，与区域A，B相邻，有3种颜色可选；对于区域D，C，若D与B颜色相同，区域C有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，区域D有2种颜色可选，区域C有1种颜色可选，则区域D，C有2214种选择，不同的涂色方案有5434240种，所以区域A，C涂色不相同的概率为P.故选D项
