1、第11讲 圆锥曲线的基本问题1.考题展望圆锥曲线的定义、简单几何性质(离心率、焦点三角形、渐近线)等常以客观题的形式出现，一般为容易题、中档题全国卷最近三年一直保持圆锥曲线两个客观题的格局在解答过程中，要特别注意圆锥曲线(特别是抛物线)定义的理解和应用，以及双曲线的渐近线的有关问题2.高考真题考题 1(2015 陕西理)若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_【解析】2 2 利用抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标列方程 抛物线的准线方程为 xp2，p0，双曲线的焦点为 F1(2，0)，F2(2，0)，所以p2 2，p2 2.【命题立意】本题主要考查抛物线与双曲线
2、的几何性质考题 2(2015 上海)已知双曲线 C1、C2 的顶点重合，C1的方程为x24 y21，若 C2 的一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的 2 倍，则 C2 的方程为_【解析】x24 y24 1 因为 C1 的方程为x24 y21，所以 C1 的一条渐近线的斜率 k112，所以 C2 的一条渐近线的斜率 k21，因为双曲线 C1、C2 的顶点重合，即焦点都在 x 轴上，设 C2 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)所以 ab2，所以 C2 的方程为x24 y24 1.【命题立意】本题主要考查双曲线的性质，直线的斜率.考题 3(2015 北京)已知椭圆 C：x23y23，
3、过点D1，0 且不过点 2，1 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 与直线 x3 交于点.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由【解析】(1)椭圆 C 的标准方程为x23 y21.所以 a 3，b1，c 2.所以椭圆 C 的离心率 eca 63.(2)因为 AB 过点 D(1，0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1，y1)，B(1，y1)直线 AE 的方程为 y1(1y1)(x2)令 x3，得 M(3，2y1)所以直线 BM 的斜率 kBM2y1y1311.(3)直线 BM 与直线
4、DE 平行证明如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由(2)可知 kBM1.又因为直线 DE 的斜率 kDE10211，所以 BMDE.当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 yk(x1)(k1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AE 的方程为 y1y11x12(x2)令 x3，得点 M3，y1x13x12.由x23y23，yk（x1）得(13k2)x26k2x3k230.所以 x1x2 6k213k2，x1x23k2313k2.直线 BM 的斜率 kBMy1x13x12y23x2.因为 kBM111212121(1)3(1)(2)(3)(2)(3)(2)k xxk xxxxxx（
5、k1）x1x22（x1x2）3（3x2）（x12）（k1）3k2313k2 12k213k23（3x2）（x12）0，所以 kBM1kDE.所以 BMDE.综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行 【命题立意】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系1掌握椭圆、双曲线与抛物线的定义，并能灵活利用定义解答有关问题.2熟记椭圆、双曲线与抛物线的标准方程及其简单的几何性质，能熟练地进行基本量 a，b，c，e 间的互求与转换离心率公式一样：eca，范围不一样，椭圆的离心率在(0，1)之间，双曲线的离心率在(1，)之间，抛物线的离心率为 1.3掌握求椭圆、双曲线与抛物线标准方
6、程的基本步骤定型(确定圆锥曲线类型)；定位(判断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上)；定量(建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量 a、b、c 的值).4培养运用数形结合及函数方程思想探究问题，充分利用几何特性分析问题的思维习惯1圆锥曲线的定义及标准方程例1(1)(2015 北京)已知2，0 是双曲线 x2y2b21(b0)的一个焦点，则 b_【解析】3 由题意知 c2，a1，b2c2a23，所以 b 3.【点评】本题主要考查双曲线的方程(2)(2015 全国)已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交
7、点，则AB()A3 B6 C9 D12【解析】选 B 抛物线 C：y28x 的焦点为(2，0)，准线方程为 x2，椭圆 E 的右焦点为(2，0)，椭圆 E 的焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)，c2，eca12，a4，b2a2c212，椭圆 E 方程为x216y2121，将 x2 代入椭圆 E 的方程解得 A(2，3)，B(2，3)，|AB|6，故选 B.【点评】本题主要考查抛物线性质；椭圆标准方程与性质2圆锥曲线的图像和几何性质的应用例2(1)(2015 湖南)若双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.5
8、3【解析】选 D 因为双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，3b4a，9(c2a2)16a2，eca53.选 D.(2)(2015 浙江)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点F(c，0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_【解析】22 根据椭圆定义运用数形结合思想求解 设椭圆的另一个焦点为 F1(c，0)，如图，连接 QF1，QF，设 QF 与直线 ybcx 交于点 M.由题意 M 为线段 QF 的中点，且 OMFQ，又 O 为线段 F1F 的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在 RtMOF 中，tanMOF|MF|OM|bc，
9、|OF|c，可解得|OM|c2a，|MF|bca，故|QF|2|MF|2bca，|QF1|2|OM|2c2a.由椭圆的定义得|QF|QF1|2bca 2c2a 2a，整理得 bc，a b2c2 2c，故 eca 22.【点评】本题主要考查点关于直线对称、椭圆的离心率(3)(2015 全国)已知 F 是双曲线 C：x2y28 1的右焦点，P 是 C 左支上一点，A0，6 6，当APF周长最小时，该三角形的面积为_【解析】12 6 设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线定义知，|PF|2a|PF1|，APF 的周长为|PA|PF|AF|PA|2a|PF1|AF|PA|PF1|AF|2a，由于 2a|A
10、F|是定值，要使APF 的周长最小，则|PA|PF1|最小，即 P、A、F1 共线，A(0，6 6)，F1(3，0)，直线 AF1 的方程为 x3 y6 61，即 x y2 63 代入 x2y28 1 整理得 y26 6y960，解得 y2 6或 y8 6(舍)，所以 P 点的纵坐标为 2 6，SAPFSAFF1SPFF11266 61262 612 6.【点评】本题主要考查双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题3.圆锥曲线的主干知识综合例3设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|3|F1B|.
11、(1)若|AB|4，ABF2 的周长为 16，求|AF2|；(2)若 cosAF2B35，求椭圆 E 的离心率【解析】(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则 k0 且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2 中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)265(2a3k)(2ak)，化简可
12、得(ak)(a3k)0.而 ak0，故 a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得 F1AF2A，故AF1F2 为等腰直角三角形 从而 c 22 a，所以椭圆 E 的离心率 eca 22.【点评】本题主要考查椭圆的定义，余弦定理，椭圆的离心率等知识【备选题】例4已知椭圆 C：x212y24 1 和圆 M：(x3)2(y2)2r2(r0)交于 A，B 两点(1)若 A，B 两点关于原点对称，求圆 M 的方程；(2)若点 A 的坐标为(0，2)，O 为坐标原点，求OAB 的面积【解析】(1)圆 M 的弦 AB 的中点是 O，故 OMAB.k
13、OM23，kAB32，AB：3x2y0.M 到直线 AB 的距离为 OM 13，由x23y212，3x2y0得 A，B 的 坐 标 为4 331，6 331，4 331，6 331，|AB|4 3931，r2OM2|AB|2255931，圆 M 的方程为(x3)2(y2)255931.(2)设 lAB：ykx2 代入 x23y212 得(13k2)x212kx0，x10，x2 12k13k2，将 lAB：ykx2 代入(x3)2(y2)29 得(1k2)x26x0，x10，x261k2，有 12k13k261k2，则 2k33k22k10(k1)(2k2k1)0k1.A(0，2)，B(3，1)
14、，lAB：yx2，SOAB123 2 23.1求圆锥曲线方程，常用定义法或待定系数法，但要注意焦点与对称轴的位置2在抛物线中涉及与焦点、准线有关的距离问题时，常考虑用定义求解.3求离心率 e 的值，要寻找 a，b，c 之间的等量关系；求 e 的取值范围，则要寻求 a、b、c 之间的不等关系，再由不等式求解，有时还要适当利用放缩法和极限逼近法，体现了方程和不等式的工具性作用.4涉及到圆锥曲线上动点的距离最值问题，注意其“范围”即坐标的取值范围这一隐含条件1已知双曲线x2a2y2b21 的一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 5，则该双曲线的方程为()A5x25y24 1
15、B.x25 y241 C.y25x24 1 D5x24y25 1【解析】选 A 抛物线焦点为1，0，所以双曲线中 c1，eca5，a 15，b245，双曲线方程为 5x25y24 1.2椭圆x225y291 的焦点 F1，F2，P 为椭圆上的一点，已知 PF1PF2，则F1PF2 的面积为()A.12 B10 C9 D8【解析】选 C PF1PF2，所以P2，由焦点三角形面积公式得 Sb2tan29tan 459.3直线 L 过抛物线 C：y22pxp0 的焦点 F 且与C相交于A、B两点，且AB的中点M的坐标为3，2，则抛物线 C 的方程为()Ay22x 或 y24xBy24x 或 y28x
16、Cy26x 或 y28xDy22x 或 y28x【解析】选 B 由题可得直线方程为 ykxp2 与抛物线方程 C：y22pxp0 联立可得 k2x2k2px2pxk2p24 0p2 pk23，pk2k1或 k2，p2 或 p4，所以抛物线方程为 y24x 或 y28x.4设 F1、F2 是椭圆 x2y2b21(0b0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使(OP OF2)F2P 0(O 为坐标原点)，且PF1 3PF2，则双曲线的离心率为()A.212B.21 C.312D.31【解析】选 D 取 PF2 的中点 A，则由(OP OF2)F2P 0 得，2OA F2P 0，即OA
17、F2P；在PF1F2 中，OA 为PF1F2 的中位线，所以 PF1PF2，所以PF1 2PF2 22c 2；又由双曲线定义知PF1 PF2 2a，且PF1 3PF2，所以(31)c2a，解得 e 31，故应选 D.6已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 y28x 相交于 A，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA|2|FB|，则 k 的值为_【解析】2 2 直线 yk(x2)恰好经过抛物线 y28x 的焦点F(2，0)，由y28x，yk（x2），可得 ky28y16k0，因为|FA|2|FB|，所以 yA2yB，则 yAyB2yByB8k，所以 yB8k，yAyB16，所以2y2B16，即
18、 yB2 2，又 k0，故 k2 2.7过椭圆x22 y21 的左焦点 F 作斜率为 k(k0)的直线交椭圆于 A，B 两点，使得 AB 的中点 M 在直线 x2y0 上(1)求 k 的值；(2)设 C(2，0)，求 tanACB.【解析】(1)由椭圆方程，a 2，b1，c1，则点 F 为(1，0)直线 AB 方程为 yk(x1)，代入椭圆方程，得(2k21)x24k2x2k220.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则 x0 x1x22 2k22k21，y0k(x01)k2k21，由点 M 在直线 x2y0 上，知2k22k0，k0，k1.(2)将 k1 代入式，得 3
19、x24x0，不妨设 x1x2，则 x10，x243，记 ACF，BCF，则 tan y1x12x11x1212，tan y2x22x21x2212，tanACBtan 2 2tan 1tan243.8如图，点 P(0，1)是椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点，C1 的长轴是圆 C2：x2y24 的直径l1，l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线(它们的斜率都存在)，其中 l1 交圆 C2 于 A、B 两点，l2 交椭圆 C1 于另一点 D.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)求ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程【解析】(1)由已知 b1，且 2a4，a2，所以椭圆的方程是x
20、24 y21.(2)因为直线 l1l2，且都过点 P(0，1)，所以设直线 l1：ykx1kxy10，直线 l2：y1kx1xkyk0，所以圆心(0，0)到直线 l1：kxy10 的距离为d11k2，所以直线l1被圆x2y24所截的弦AB2 4d22 34k21k2；由xkyk0，x24 y21k2x24x28kx0，所以 xDxP 8kk24|DP|1 1k264k2（k24）28 k21k24，所以 S ABD 12|AB|DP|12 2 34k21k2 8 k21k248 4k23k2448 4k234k2313324k234k23134k23324k23134k23 322 131613 13，当 4k23134k23k252k 102 时等号成立，此时直线 l1：y 102 x1.
