1、专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理 解题必备 解题方略 限时规范训练 走进高考 考点二 平面向量、复数运算 1“三点”共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P三点共线的充要条件是OP 1OA 2OB(其中 121)2三角形中线向量公式：若 P 为OAB 的边 AB 的中点，则向量OP 与向量OA、OB 的关系是OP 12(OA OB)3三角形重心坐标的求法：G 为ABC 的重心GA GB GC0GxAxBxC3，yAyByC3.OA OB OB OC OC OA O 为ABC 垂心4abab0(a0，b0)5i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.6z z
2、|z|2，(1i)22i，(1i)22i，1i1ii，1i1ii.类型一 平面向量的概念及线性运算典例 1(1)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD 13AB43AC B.AD 13AB43ACC.AD 43AB13AC D.AD 43AB13ACA解析：通解一：AD ABBD ABBCCD AB43BCAB43(ACAB)13AB43AC.故选 A.通解二：AD ACCD AC13BCAC13(ACAB)43AC13AB13AB43AC.选 A.优解：如图，建立平面直角坐标系，设 B(0,0)，A(0,1)，C(1,0)，则 D43，0.AD 43，1，AC(1，1)
3、，AB(0，1)AD 43AC13AB.选 A.(2)已知 e1，e2 是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且mn0，若 ab，则mn等于()A12B.12C2D2C解析：通解：(直接法，利用向量共线定理)ab，ab，即 me12e2(ne1e2)，则nm，2，解得mn2.优解：(用向量坐标表示)将 e1，e2 视为 x 轴，y 轴上的单位向量，a(m,2)，b(n，1)abmn 212.故选 C.平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算；(2)在证明两向量平行时，
4、若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b0 时，ab存在唯一实数，使得 ab)来判断自我挑战1在等腰梯形 ABCD 中，AB2CD，M 为 BC 的中点，则AM()A.12AB12AD B.34AB12ADC.34AB14ADD.12AB34AD解析：选 B.由于 M 为 BC 的中点，所以AM 12(ABAC)12(ABAD DC)12(ABAD 12AB)34AB12AD，故选 B.B2已知 A、B、C 三点不共线，且AD 13AB2AC，则SABDSACD()A.23B.32C6D.16C解析：选 C.如图，取AM 13AB，
5、AN2AC，以 AM，AN 为邻边作平行四边形 AMDN，此时AD 13AB2AC.由图可知 SABD3SAMD，SACD12SAND，而 SAMDSAND，SABDSACD6，故选 C.类型二 平面向量数量积及其应用典例 2(1)(2016高考全国卷)已知向量BA12，32，BC32，12，则ABC()A30B45C60D120A解析：通解：根据向量的夹角公式求解 BA12，32，BC32，12，|BA|1，|BC|1，BABC12 32 32 12 32，cosABCcosBA，BC BABC|BA|BC|32.0BA，BC180，ABCBA，BC30.优解：如图，以 B 为原点建立平面直
6、角坐标系，则 A12，32.ABx60，C32，12 CBx30，ABC30.(2)已知ABAC，|AB|1t，|AC|t.若点 P 是ABC 所在平面内的一点，且AP AB|AB|4AC|AC|，则PBPC的最大值等于()A13B15C19D21A解析：通解：(借“底”数字化)由题意，ABAC，故分别与AB，AC同向共线的单位向量可以作为平面向量的一组基底，设AB|AB|a，AC|AC|b，则|a|b|1，且a，b2，所以 ab0.所以AB1ta，ACtb，APa4b.而PBABAP1ta(a4b)1t1 a4b，PCACAPtb(a4b)a(t4)b，故PBPC1t1 a4ba(t4)b
7、1t1 a24(t4)b241t1 t4 ab 1t1 14(t4)141t1 t4 0 11t4t16 171t4t.由已知|AB|1t，所以 t0.由基本不等式可得1t4t21t4t4(当且仅当1t4t，即 t12时等号成立)，所以PBPC171t4t 17413.综上，当 t12时，PBPC取得最大值 13.故选 A.优解：(借“系”坐标化)由题意，ABAC，故以点 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系 由题意可得，B1t，0，C(0，t)而 AB|AB|(1,0)，AC|AC|(0,1)，所以AP AB|AB|4AC|AC|(1,4)，故 P(1,4)故PB1t1，4，PC(1
8、，t4)，所以PBPC1t1(1)(4)(t4)11t4t16171t4t.由已知|AB|1t，所以 t0.由基本不等式可得1t4t21t4t4(当且仅当1t4t，即 t12时等号成立)，PBPC17(t4t)17413.综上，当 t12时，PBPC取得最大值 13，故选 A.母题变式本例(1)中，已知条件不变，改为求|AC|的值？解：ACBCBA32，12 12，32 312，1 32|AC|31221 322 6 22.1一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法解决向量的夹角问题主要是利用公式“cosa
9、，b ab|a|b|”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决2求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值自我挑战3已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD_.解析：通解：以AB、AD 为基底表示AE和BD 后直接计算数量积 AEAD 12AB，BD AD AB，AEBD AD 12AB(AD AB)|AD|212|AB|22212222.优解：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解 如图，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x
10、 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，AE(1,2)，BD(2,2)，AEBD 1(2)222.答案：24已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b.若 bc0，则 t_.解析：通解：bc0，bta(1t)b0，tab(1t)b20，又|a|b|1，a，b60，12t1t0，t2.优解：由 t(1t)1 知向量 a、b、c 的终点 A、B、C 共线，在平面直角坐标系中设 a(1,0)，b12，32，则 c32，32.把 a、b、c 的坐标代入 cta(1t)b，得 t2.答案：2类型三 复数的代数运算及
11、几何意义典例 3(1)(2016高考全国卷)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，)D(，3)A解析：(根据复数几何意义)由已知可得 m30，m10m3，m13m1.故选 A.(2)(2016高考全国卷)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|()A1 B.2C.3D2解析：(根据复数相等及模计算)x，yR，(1i)x1yi，xxi1yi，x1，y1，|xyi|1i|1212 2.故选 B.B(3)(2016高考全国卷)若 z12i，则4iz z 1()A1B1CiDi解析：利用 z z|z|2.z
12、z(12i)(12i)5，4iz z 14i4i，故选 C.C 1复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可2复数模的运算规律|z1z2|z1|z2|；z1z2|z1|z2|.自我挑战5设复数 z 满足1z1zi，则|z|()A1 B.2C.3D2A解析：通解：选 A.由已知1z1zi，可得 zi1i1i12i1i12i2i，|z|i|1，故选 A.优解：1i1ii，zi，|z|1.6若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A1B0C1D2解析：通解：选 B.(2ai)(a2i)4i
13、4a(a24)i4i，4a0，a244，解得 a0.优解：检验法：将 a0 代入适合题意，故选 B.B1(2017高考全国卷)3i1i()A12iB12iC2iD2iD解析：选 D.3i1i3i1i1i1i33ii122i.故选 D.2(2017高考全国卷)设复数 z 满足(1i)z2i，则|z|()A.12B.22C.2D2C解析：选 C.解法一：由(1i)z2i 得 z 2i1i1i，|z|2.故选 C.解法二：2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得 z1i，|z|2.故选 C.3(2017高考全国卷)复平面内表示复数 zi(2i)的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象
14、限C解析：选 C.zi(2i)12i，复数 z12i 所对应的复平面内的点为 Z(1，2)，位于第三象限故选 C.4(2017高考全国卷)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则()AabB|a|b|CabD|a|b|A解析：选 A.解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选 A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则 在ABCD 中，设ABa，AD b，由|ab|ab|知|AC|DB|，从而四边形 ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab.故选 A.5(2016高考山东卷)已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n13.若 n(tmn)，则实数 t 的值为()A4B4C.94D94B解析：选 B.因为 n(tmn)，所以 tmnn20，所以 mnn2t，又 4|m|3|n|，所以 cosm，n mn|m|n|4mn3|n|2 43t13，所以 t4.故选B.6(2016高考全国卷)设向量 a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则 m_.解析：由|ab|2|a|2|b|2，知 ab，abm20，m2.答案：2点击进入word版：限时规范训练把握高考微点，实现素能提升
