1、最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理第6讲 立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直1直线的方向向量与平面的法向量的确定知 识 梳 理(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称AB 为直线 l 的方向向量，与AB 平行的任意_也是直线 l 的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 内两不共线向量，n 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为na0，nb0.非零向量2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的
2、方向向量分别为1和2，则l1l2(或l1与l2重合)_v12.(2)设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量1和2，则l或l存在两个实数x，y，使 _(3)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l或l _(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则_ u1u2.12x1y2u u1u2u 03用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l2_ _(2)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l _ _(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则_ _12120u vu u1u2u1u201判断正误(请在括号中打“”或“”)精彩PPT展示(1)直线的方
3、向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(4)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()诊 断 自 测2平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k()A2 B4 C4 D2解析，两平面法向量平行，答案 C21 42 k2，k4.3已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()答案 CA(1，1，1)B(1，1，1)C(33，33，33)D(33，33，33)解析 设 n(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，则nAB 0，nAC 0，化简得xy
4、0，xz0，xyz.故选 C.4已知直线l的方向向量为(1，2，3)，平面的法向量为u(5，2，3)，则l与的位置关系是_解析 u0，u，l或l.答案 l或l5(人教A选修21P104练习2改编)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均不对解析 n1n2，且n1n22(3)315(4)230，不平行，也不垂直故选C.答案 C考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.证明 平面PAD平面ABC
5、D，且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)法一 EF(0，1，0)，EG(1，2，1)，设平面 EFG 的法向量为 n(x，y，z)，则nEF 0，nEG 0，即y0，x2yz0，令 z1，则 n(1，0，1)为平面 EFG 的一个法向量，PB(2，0，2)，PBn0，nPB，PB面 EFG，PB平面 EFG.法二 PB(2，0，2)，FE(0，1，0)，FG(1，1，1)设PBsFE tF
6、G，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，t2，ts0，t2，解得 st2.PB2FE 2FG，又FE 与FG 不共线，PB，FE 与FG 共面PB平面 EFG，PB平面 EFG.规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算【训练1】如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F
7、，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；证明 如图，连接OP，PAPC，O是AC的中点，POAC，又面PAC面ABC，PO面ABC，ABC是以AC为斜边的直角三角形，BOAC.所以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(4，0，3)由题意，得G(0，4，0)因为OB(8，0，0)，OE(0，4，3)，设 n(x，y，z)为面 BOE 的法向量，则 nOB 0，nOE 0，
8、x0，4y3z0，令z4，得y3.所以平面BOE的一个法向量n(0，3，4)又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.由FG(4，4，3)，得 nFG 0.考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】(2015济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P
9、(0，0，4)于是AP(0，3，4)，BC(8，0，0)，APBC(0，3，4)(8，0，0)0，所以APBC，即 APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点 M 在线段 AP 上，AM 35AP0，95，125，又BA(4，5，0)，BM BA AM 4，165，125，则APBM(0，3，4)4，165，125 0，又根据(1)的结论知APBC，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.APBM，即 APBM，规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(
10、2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可证明：A1C平面BB1D1D.【训练 2】(2013陕西卷节选)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1 2.证明 由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图ABAA1 2，OAOBOA11，A(1，0
11、，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)由A1B1 AB，易得 B1(1，1，1)A1C(1，0，1)，BD(0，2，0)，BB1(1，0，1)，A1C BD 0，A1C BB1 0，A1CBD，A1CBB1，又 BDBB1B，A1C平面 BB1D1D.考点三 利用空间向量解决探索性问题【例3】在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由(1)证明 如图，以DA，DC，DP所在直线分
12、别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0，0，a)，Fa2，a2，a2.EF a2，0，a2，DC(0，a，0)EF DC 0，EF DC，即 EFCD.(2)解 假设存在满足条件的点G，设 G(x，0，z)，则FG xa2，a2，za2，若使 GF平面 PCB，则由FG CB xa2，a2，za2(a，0，0)axa2 0，得 xa2；由FG CPxa2，a2，za2(0，a，a)a22 aza2 0，得 z0.G 点坐标为a2，0，0，即存在满足条件的点 G，且点 G 为 AD的中点
13、规律方法 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在本题是设出点G的坐标，借助向量运算，判定关于P点的方程是否有解(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由【训练 3】(2014鞍山二模)如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PACD，PA1，PD 2，E
14、为 PD 上一点，PE2ED.PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，ADCDD，PA平面ABCD.(2)解 以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，(1)证明 PAAD1，PD 2，E0，23，13，AC(1，1，0)，AE 0，23，13.设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则nAC 0，nAE 0，即xy0，2yz0，令 y1，则 n(1，1，2)假设侧棱 PC 上存在一点 F，且CF CP(01)，使得 BF平面 AEC，则BF n0.又BF BC CF(0，1，0)(，)
15、(，1，)，BF n120，12，存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点.思想方法1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想2用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题易错防范1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.
