1、广西玉林师院附中、玉林十一中等五校2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1. 已知，则是的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将命题转化为集合和,再根据集合A与B之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得.【详解】设命题:对应的集合为,命题 :对应的集合为,因为AB,所以命题 是命题的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合
2、之间的关系,属基础题.2. 椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，再求椭圆的离心率.【详解】解：因为，所以，则，所以，又因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质；利用椭圆方程求、；利用椭圆方程求离心率，是基础题3. 太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的茎叶图如图，若其众数为，中位数为，则（ ）A. 19.5B. 2C. 21D. 11.5【答案】D【解析】【分析】根据众数与中位数的概念即可求出值.【详解】由题意可知众数为,中位数为,所以.故选:D.【点睛】本题考查了众数和中位数的概念,难度容易.
3、4. 判断如图所示的图形中具有相关关系的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图象可得A,B是确定关系，再根据CD散点分布可得结果.【详解】根据图象可得A,B为连续曲线，变量间的关系是确定的，不是相关关系，C中散点分布在一条直线附近，可得其线性相关，D中散点分布在一个长方形区域，即非线性相关，故选：C【点睛】本题考查散点图、线性相关判定，考查基本分析判断能力，属基础题.5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】试题分析：根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，
4、输出的n即可解：由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：S12n248 故S=2时，输出n=8故选C6. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 恰有一个红球与恰有二个红球D. 至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立
5、事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.7. 从全体高二同学期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是（ ）A. 平均分B. 方差C. 中位数D. 标准差【答案】C【解析】【分析】将最高分148分录成了150分，将100个数据从小到大排列，数据的先后顺序不发生变化，所以中位数不会发生变化.【详解】将最高分148分录成了150分，则
6、把100个数据从小到大排列，中间的两个数没有发生变化，所以一定正确的数据为中位数.故选：C【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、标准差的概念和性质、属于简单题，解题时需要准确把握以上几个名词的概念和性质.8. 党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知，基本事件有6个，其中抽取到含有“爱国”“诚信
7、”两词中的一个的事件有2个基本事件，根据古典概型概率公式计算即可.【详解】由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；诚信、友善的卡片，共有6个，其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为：抽到写有爱国、敬业的卡片，抽到写有诚信、友善的卡片，共有2个，所以由古典概型概率公式知：，故选：A【点睛】本题主要考查了古典概型概率的求法，属于中档题.9. 椭圆上的点到直线距离最近的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设和椭圆相切的且与直线平行的直线和椭圆方程联立，求出后再与椭圆方程联立，可求得答案.【详解】设和椭圆相切且与直线
8、平行的直线方程为，所以得，因为直线和圆相切，所以，所以，时，与的距离为，时，与的距离为此时直线虽然与椭圆相切，但是在椭圆上方，舍去，所以，所以，得，解得切点坐标为，故选：B.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，求切点坐标的问题.10. 已知椭圆：离心率为，点在上，则椭圆的短轴长为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】由椭圆性质得，利用离心率可得，再由的关系求得【详解】因为，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的性质，掌握离心率及的关系是解题基础11. 祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年为探究圆周率
9、的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率的值正三角形的边长为4，若总豆子数，其中落在圆内的豆子数，则估算圆周率的值是（为方便计算取1.70，结果精确到0.01）（ ）A. 3.13B. 3.14C. 3.15D. 3.16【答案】C【解析】【分析】求出正三角形和内切圆的面积，计算出概率，由它等于模拟概率可求得的近似值【详解】由题意可得，正三角形，内切圆的半径内，内切圆，则，故选：C【点睛】本题考查几何概型，考查几何概型的应用，属于基本题12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个
10、整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由得,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确.由得,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论正确.如图所示,易知,四边形的面积,
11、很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.第II卷（非选择题）二、填空题13. 2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停学，某高中实施网上教学该高中为了解网课学习效果，组织了一次网上测试并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_人【答案】3000【解析】【分析】根据已知利用减法求得高三年级抽取的学生人数，
12、根据分层抽样的等比例原则设未知数列方程求得该高中的学生总数.【详解】由已知可知，高三年级抽取的学生数为，设该高中的学生总数为n，则，解得，即该高中的学生共有3000人故答案为：3000【点睛】本题考查分层抽样中的样本总量计算问题，属基础题，难度容易.14. 下表是，之间的一组数据：0123457819且关于的回归方程为，则表中的_.【答案】11【解析】【分析】根据回归直线经过样本中心点求解.【详解】回归直线经过样本中心点，解得.故答案为：C【点睛】本题主要考查回归方程的概念与性质，属于基础题.15. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A，且，O为坐标原点，则C的离心率为_【
13、答案】【解析】【分析】由已知求出渐近线的斜率，得，结合转化后可求得离心率【详解】由题意可得，渐近线方程为，故故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于的一个等式，本题中利用直角三角形中正切函数定义可得16. 有下列命题命题“xR，使得x2+13x”的否定是“xR，都有x2+13x”；设p、q为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq为真命题”；“a2”是“a5”的充分不必要条件；若函数f（x）（x+1）（x+a）为偶函数，则a1；其中所有正确的说法序号是 【答案】【解析】【分析】写出原命题的否定，可判断；根据两个命题互为否定，可判断；根据充要条件的定义，可判断；求出a值，可判
14、断【详解】解：命题“xR，使得x2+13x”的否定是“xR，都有x2+13x”，故错误；设p、q为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq为真命题”，故正确；“a2”是“a5”的必要不充分条件，故错误；若函数f（x）（x+1）（x+a）为偶函数，则f（x）f（x），即（x+1）（x+a）（x+1）（x+a），即x2（a+1）x+ax2+（a+1）x+a，则a1，故正确；故答案为【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，考查逻辑推理能力，难度中档三、解答题17. 已知某大学有男生14000人，女生10000人，大学行政主管部门想了解该大学学生的运动状况，按性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽
15、取120人，统计他们平均每天运动的时间（单位：小时）如表：男生平均每天运动的时间人数212231810x女生平均每天运动的时间人数51218103y（1）求实数的值；（2）若从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中随机抽取2人，求“被抽取的2人性别不相同”的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用分层抽样求出样本个数，再根据题意，求出，即可求得答案；（2）根据古典概型概率公式，即可求得答案.【详解】（1）男生14000人，女生10000人，男数女数，故男生抽取了人，女生抽取了50人，由，；（2）从被抽取的120人平均每天运动时间（单位：小时）在范围的人中，有男
16、生2，女生5人，共有7人设男生为,女生为：随机抽取2人不相同的情况有：,总共有种选法性别不同的(即一男生一女生)有：，共种选法，随机抽取人，“被抽取的人性别不相同”的事件为，故.【点睛】本题主要考查了分层抽样和求事件的概率，解题关键是掌握分层抽样的基础知识和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18. 已知：双曲线.（1）求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率；（2）若一条双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，且经过点，求该双曲线的方程.【答案】(1)焦点，顶点，离心率；(2)【解析】【分析】（1）由双曲线 可得：，从而求得：，问题得解（2）设所求双曲线的方程为：，将代入即可求得，问题
17、得解【详解】双曲线 ，所以，双曲线的焦点坐标，顶点坐标，离心率（2）设所求双曲线的方程为：，将代入上式得：，解得：所求双曲线的方程为：【点睛】（1）主要考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题（2）主要考查了共渐近线的双曲线方程的特征-若双曲线方程为：则与它共共渐近线的双曲线方程可设为：，属于基础题19. 设命题实数满足，其中；命题实数满足.（1）当时，若命题和命题皆为真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，解出为真命题时的取值范围和为真命题时的取值范围，求交集即可得到结果；（2）因为是的必要不充分条件，所以是的必要不
18、充分条件，即为真命题时的取值范围是为真命题时的取值范围的真子集，由此即可求出的取值范围.【详解】（1）当时，所以，解得；即命题为真命题，则；因为，所以，即命题为真命题，则；若命题和命题皆为真命题，所以，所以；即的取值范围 （2）因为，所以，解得 ，因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，即 是的真子集，则，则，经检验，当或时，都满足题意. 即实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了不等式的解法、充分条件与必要条件的应用，属于基础题.20. 已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点.（1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求.【答案】（1）；
19、（2）【解析】【分析】（1）设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求得的值，由此可得出所求双曲线的方程；（2）可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得.【详解】（1）设双曲线方程为：，将点的坐标代入双曲线的方程得，所以所求双曲线方程为；（2）易知双曲线右焦点的坐标为，设点、，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，.因此，.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，同时也考查了直线截双曲线的弦长，考查计算能力，属于中等题.21. 2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降，国内多
20、地在3月开始陆续发现促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天的汽车销售量（单位：辆）如下：第天345678销售量（单位：辆）172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在24辆以上（含24辆）的概率；（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程；（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断
21、，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第10天的销售量；若不可行，请说明理由.参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）；（2）；（3）可行；预测第10天销售量为31辆.【解析】【分析】（1）先确定6天中销售量均在24辆以上（含24辆）有3天，再将6个数据抽取两个事件的基本事件依次列举出来，借助古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求，即得结果；（3）根据回归直线方程确定对应的，再根据定义判断是否“可行”，最后代入得结果.【详解】（1）设“从6天中随机选取2天，这2天的销售量均在24辆以上（含24辆）”为事件，这6个数据为3、4、5、6、7、8，抽取两个
22、事件的基本事件有：，共15种，其中事件发生的基本事件包括，共3种，所以.（2）因为，所以，所以所求线性回归方程为.（3）当时，此时；当时，此时；所以所求线性回归方程为是“可行”的.当时，；所以预测第10天的销售量为31辆.【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.22. 椭圆：经过点，.（1）求椭圆的方程；（2）经过点的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点），则直线与的斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，2.【解析】【分析】（1）代入已知两点坐标可求得，得椭圆方程；（2）设直线方程为，代入椭圆方程并整理，设，由韦达定理得，计算并代入可得定值【详解】（1）由题意知，解得，所以，椭圆的方程为.（2）由题设知，直线、的方程为，代入，得，由已知，设，则，从而直线与斜率之和.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程，代入椭圆方程，设交点坐标为，由韦达定理得，然后计算需要证明定值的量并代入化简可得
