1、第一章1.2 1.2.2 第2课时考点对应题号基础训练能力提升1.直线与双曲线的位置关系811,122.弦长及中点弦问题2,106,133.双曲线的综合问题1,3,4,75,9一、选择题1双曲线x2y22(0)的离心率e()A2 BC D1C解析 由双曲线方程知a，c，故e.2过双曲线1的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为()A2 B4C8 D4A解析 双曲线x22y24的焦点为(，0)，把x代入并解得y1，所以|AB|1(1)2.3若P为双曲线1右支上一个动点，F为双曲线的左焦点，M为PF的中点，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为()A0，) B2，)C D1，)D
2、解析 设双曲线右焦点为F，则|OM|PF|.|PF|是双曲线焦半径，当P为右顶点时，|PF|minca2，|PF|无最大值，所以|OM|1，)4已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m()A1 B2C3 D4D解析 依题意，将双曲线9y2m2x21(m0)化为标准方程是1(m0)，所以a2，b2.取一个顶点为，一条渐近线的方程为mx3y0，所以，所以m4.5P是双曲线1的右支上一点，M，N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为()A6 B7C8 D9D解析 设题中双曲线的两个焦点分别是F1(5,0)与F2(5,0)，则这两
3、点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M，F1三点共线以及P与N，F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|(|PF1|2)(|PF2|1)639.6已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过点F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A1 B1C1 D1B解析 设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差得.又直线AB的斜率是1，所以4b25a2.代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.二、填空题7已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心
4、率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_.解析 由题意知椭圆的焦点坐标是(，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程为1.答案 18已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M，且2，则双曲线C的离心率为_.解析 由已知得F2(c,0)，不妨取渐近线yx，由题意得直线F2H的斜率为，设H，将y(xc)代入双曲线渐近线方程求出x，则H，由2可得M，把M点坐标代入双曲线方程得1，整理可得ca，故离心率e.答案 9已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)则AP
5、F的最小周长是_解析 如图，设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|AF1|2|AF|2|AF|2.因为|AF|15为定值，APF的周长最小值为32，答案 32三、解答题10已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A，B两点，试判断A，B两点是否位于双曲线的同一支上，并求弦AB的长解析 因为a1，b，c2，又直线l过点F2(2,0)，且斜率ktan 451，所以l的方程
6、为yx2，将消去y并整理得2x24x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1x20，所以A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上因为x1x22，x1x2，所以|AB|x1x2|6.11已知直线l：xy1与双曲线C：y21(a0)(1)若a，求l与C相交所得的弦长；(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围解析 (1)当a时，双曲线C的方程为4x2y21，联立消去y，得3x22x20.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，则|AB|x1x2|.(2)将yx1代入双曲线y21得(1a2)x22a2x2a20，所以解得0a且e.即离心率e的取
7、值范围是(，)12设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B(1)若OAOB(O为原点)，求a的值；(2)设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值解析 (1)将yx1代入双曲线方程y21(a0)，得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a 且a1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2为方程(1a2)x22a2x2a20的两根，且1a20，所以x1x2，x1x2，因为OAOB，所以x1x2y1y20，即x1x2(1x1)(1x2)2x1x2(x1x2)10，于是10，即0，所以a或a(舍去)，故a.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)因为
8、，所以(x1，y11)(x2，y21)，所以x1x2.所以x1x2x2，x1x2x.消去x2得.由a0，解得a.四、选做题13已知双曲线C：2x2y22与点P(1,2)(1)求过点P(1,2)的直线l的斜率的取值范围，使l与C有两个交点；(2)若点Q的坐标为(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在解析 (1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x1，与双曲线C只有一个交点当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，代入C的方程，并整理得(2k2)x22(k22k)xk24k60.(*)当2k20，即k时，方程(*)有一个根，l与C只有一个交点当2k20，即k时，2(k22k)24(2k2)(k24k6)16(32k)，当0，即k时，又k，故当k的范围是时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2xy2,2xy2，两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又因为x1x22，y1y22，所以2(x1x2)y1y2，即kAB2，则AB为y2x1，与2x2y22联立可得2x24x30，而16460，可知直线AB与双曲线C无交点所以假设不正确，即以Q为中心的弦不存在
