1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节 平面向量应用举例(经典母题)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P满足OP OA(AB AC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A内心 B外心 C重心 D垂心解析：由题设得OP OA(AB AC)，即AP(AB AC)根据平行四边形法则，知AB AC 是ABC 的中线 AD(D 为 BC的中点)所对应向量AD 的 2 倍 所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心答案：C【探 究 迁 移 1】在 本 例中，若 动点 P 满 足OP OA AB|AB|AC|AC|，(0，)，则如何选择？解 析：由 条
2、 件，得 OP OA AB|AB|AC|AC|，即 AP AB|AB|AC|AC|又 AB|AB|和ACAC 分别表示平行于AB，AC 的单位向量，故AB|AB|AC|AC|平分BAC，即AP 平分BAC.所以点 P 的轨迹必过ABC 的内心 答案：A【探 究 迁 移 2】在 本 例中，若 动点 P 满 足OP OA AB|AB|cos BAC|AC|cos C，(0，)，则如何选择？解析：由条件，得AP AB|AB|cos BAC|AC|cos C，从而AP BC AB BC|AB|cos B AC BC|AC|cos C|AB|BC|cos（180B）|AB|cos B|AC|BC|cos
3、 C|AC|cos C0，所以AP BC，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心 答案：D平面几何问题中的向量方法 1坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 2基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解(2015广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m22，22，n(sin x，cos x)，x0，2.(1)若 mn，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值解：(1)若 mn，则 mn0.由向量数量积的坐标公式得 2
4、2 sin x 22 cos x0，tan x1.(2)m 与 n 的夹角为3，mn|m|n|cos3，即 22 sin x 22 cos x12，sinx4 12.又x0，2，x4 4，4，x4 6，即 x512.解决平面向量与三角函数交汇问题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决 设向量 a(cos x，sin x)，b(2sin x，2sin x)函数 f(x)abm 的最大值是 2.(1)求实数 m 的值；(2)若 x0，2，且 f(x)1，求 x 的值解：(1)f(x)2sin2x4 1m f(x)max 2m10，m1.(2)2x4 4，54
5、 f(x)1 2sin2x4 1 sin2x4 22 2x4 34 x4.已知平面上一定点 C(2，0)和直线 l：x8，P 为该平面上一动点，作 PQl，垂足为 Q，且PC 12PQ PC 12PQ 0.(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)若 EF 为圆 N：x2(y1)21 的任一条直径，求PEPF的最大值解：(1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)由PC 12PQ PC 12PQ 0，得|PC|214|PQ|20，即(x2)2y214(x8)20，化简得x216y2121.所以点 P 在椭圆上，其方程为x216y2121.(2)因PE PF(NE NP)(NF NP)(NF NP)(NF
6、 NP)(NP)2NF 2NP 21，P 是椭圆x216y2121 上的任一点，设 P(x0，y0)，则有x2016y20121，即 x20164y203，又 N(0，1)，所以NP 2x20(y01)213y202y01713(y03)220.因为 y02 3，2 3，所以当 y03 时，NP 2 取得最大值 20，故PEPF的最大值为 19.向量的两个作用 1载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“描述”，解决此类问题时，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系 2工具作用：利用向量垂直、平行的条件解决解析几何中的垂直、平行问题是一种行之有效的方法 已知点 A(1，0)，椭圆 C：x24 y23 1，过点 A 作直线交椭圆 C于 P，Q 两点，AP 2QA，则直线 PQ 的斜率为()A.52B.5C 5D 52解析：设直线 PQ 的方程为 xmy1，由xmy1，x24 y23 1，消去 x，得(3m24)y26my90 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1y26m3m24 y1y293m24 由AP 2QA，得(x11，y1)2(1x2，y2)y12y2 由消去 y1，y2，得 5m24.解得 m 25.所以直线 PQ 的斜率为 52.答案：D
