1、一、同角三角函数基本关系式 1.倒数关系2.商数关系3.平方关系tancot=1sincsc=1cossec=1sin2+cos2=11+tan2=sec21+cot2=csc2tan=cot=sincoscossin二、诱导公式 奇变偶不变,符号看象限.3.本质通过不相等的两个角的同名三角函数或两个互为余函数的三角函数值相等或互为相反数,反映了三角函数的周期性及各种对称性.1.定义2.口诀用自变量 的三角函数表示自变量为(kZ)的三角函数的公式叫诱导公式.2k1.已知 cot(-)=2,求 sin(+)的值.32解:cot(-)=2,又 cot(-)=-cot,cot=-2.是第二或第四象限
2、角,且 tan=-.12cos2=.1+tan2145又 sin(+)=-cos,3225 5,是第二象限角,25 5,是第四象限角.-sin(+)=32cos=25 5,是第四象限角.25 5,是第二象限角,-典型例题 2.已知 cot=m(m0),求 cos.解:cot=m(m0),角 的终边不在坐标轴上.若 是第一或第二象限角,则csc=1+cot2=1+m2 .sin=csc11+m21=.cos=sincot=.m 1+m21+m2若 是第三或第四象限角,则csc=-1+cot2=-1+m2 .sin=csc11+m21=-.cos=sincot=-.m 1+m2 1+m23.已知
3、sin+cos=(0),求 tan 的值.23解法1 将已知等式两边平方得 sincos=-0,18700.由 sincos0 知 cos0.sin-cos=(sin-cos)2=1-2sincos=.43sin+cos=,sin-cos=,4323解方程组 得 sin=,cos=.2+4 62-4 6tan=.sincos-9-4 27解法2 将已知等式两边平方得 sincos=-0,18700.由 sincos0 知 cos0.tan=.sincos-9-4 27sin,cos 是方程 x2-x-=0 的根,且 cos 为小根.18723cos=,sin=.2+4 62-4 63.已知 s
4、in+cos=(0),求 tan 的值.23解法3 由已知 sin,cos 成等差数列,设其公差为 d,则26sin=-d,26cos=+d.26由 sin2+cos2=1得:(-d)2+(+d)2=1.2626解得 d=-或.2323tan=.sincos-9-4 27cos=,sin=.2+4 62-4 6当 d=时,sin=0,与 00 矛盾,232-4 6d=-.233.已知 sin+cos=(0),求 tan 的值.234.已知 f()=.(1)化简 f();sin(-)cos(2-)tan(-+)32cot(-)sin(-)(2)若 是第三象限角,且 cos(-)=,求 f()的值
5、;3215(3)若=-,求 f()的值;331解:(1)f()=sincoscot-cotsin=-cos;(2)cos(-)=-sin,32由已知可得 sin=-.15 是第三象限角,cos0.cos=-1-sin2=-25 6.25 6f()=-cos=.(3)=-=-62+,33153f(-)=-cos(-)33133153=-cos(-62+)=-cos 53=-cos =-.1235.已知 0 ,tan +cot =,求sin(-)的值.522223解:tan +cot =,22sin2由已知可得 sin=.450 ,2cos=1-sin235 =.sin(-)=sincos -co
6、ssin 333=-12354532=(4-3 3).1016.已知 为锐角,且 tan=,求的值.sin2cos-sinsin2cos212解:tan=,12又 为锐角,1+tan21cos2=.45cos=.52原式=2sincos2-sin2sincoscos2sincos22sincoscos2=12cos=.547.已知 tan(-)=2,求:(1);(2)2sin(3+)cos(+)+sin(-)sin(-).4cos2-3sin2+1 sin2-2sincos-cos23252解:(1)tan(-)=2,又 tan(-)=-tan,tan=-2.原式=5cos2-2sin2sin
7、2-2sincos-cos21+tan22tan2-tan=5-2tan2tan2-2tan-1 =-.73(2)由(1)知 tan=-2,原式=2(-sin)(-sin)+(-cos)sin=2sin2-sincos=cos2(2tan2-tan)=2.8.角 的终边上的点 P与A(a,b)关于 x 轴对称(a0,b0),角 的终边上的点 Q 与A点关于直线 y=x 对称,求 sinsec+tancot+seccsc 的值.解法1 依题意 P(a,-b),Q(b,a),设 r=a2+b2,则:sin=-,sec=,tan=-,cot=,sec=,csc=.brrbbabarara原式=-+(
8、-)+brrbbabarara=-1-+=0.a2+b2 a2b2a2解法2 依题意-=2k+(kZ),即=2k+.22原式=sin+tancot(2k+)+cos(2k+)212cos1sin(2k+)21=sin+tan(-tan)+-sin1cos1cos1=-1-tan2+sec2=0.课后练习 1.已知 sin+sin2=1,求 cos2+cos4 的值.解:由 sin+sin2=1 得 sin=1-sin2=cos2.cos2+cos4=sin+sin2=1.2.已知 cos=(m-1),求 sin,cot.m2+12m解:由已知 cos0,角 的终边在第二或第三象限或为 x 轴的
9、非正半轴.当角 的终边在第二象限或为 x 轴的非正半轴时,sin=1-cos2=,m2+1 m2-1 2mtan=.sincosm2-1 当角 的终边在第三象限时,sin=-1-cos2=,1+m2 1-m2 2mtan=.sincos1-m23.设 sin,cos 是方程 2x2-(3+1)x+m=0 的两根,求:(1)+及 m 的值;(2)方程两根 sin,cos 及此时 的值.1-cotsin1-tancos解:(1)由已知 sin+cos=,sincos=.3+1 22m1-cotsin1-tancos +=+1-sin1-coscossinsincos=cos-sincos2-sin
10、2=+cos-sincos2sin-cossin2=sin+cos=.3+1 2(sin+cos)2=1+2sincos,2m()2=1+2.3+1 2解得 m=.32解:(2)由(1)知原方程为 2x2-(3+1)x+=0.32=2k+或=2k+(kZ).363.设 sin,cos 是方程 2x2-(3+1)x+m=0 的两根,求:(1)+及 m 的值;(2)方程两根 sin,cos 及此时 的值.1-cotsin1-tancos解得 x1=,x2=.1232sin=,cos=,12sin=,cos=,12 或32325.已知 tan(-)=a2,|cos(-)|=-cos,求 sec(+)
11、的值;4.已知 cos(-)=a(|a|1),求 cos(+)+sin(-)的值;56623解:cos(-)=a(|a|1),6cos(+)=cos-(-)566=-cos(-)=-a,6=cos(-)=a,6sin(-)=sin +(-)2362cos(+)+sin(-)5623=-a+a=0.解:tan(-)=a2,又 tan(-)=-tan,tan=-a2.|cos(-)|=-cos,又|cos(-)|=|cos|,|cos|=-cos.cos0.sec(+)=-cos1=1+tan2=1+a4.6.若+=0,试判断 cos(sin)sin(cos)的符号;1-cos2sin1-sin2
12、cos|cos|sin|sin|cos解:由已知 +=0,sin 与 cos 异号.是第二或第四象限角.当 是第二象限角时,-1cos0,0sin1.sin(cos)0.cos(sin)sin(cos)0.故 cos(sin)sin(cos)的符号为“+”号.-1,1 ,22-cos0,0sin.22解:是第二象限角,7.已知 sin=,cos=,若 是第二象限角,求实数 a的值.1+a3a-1 1+a1-a0sin1,-1cos0.1+a3a-1 1+a1-a0 1,-1 0,解得 0a .13又 sin2+cos2=1,1+a3a-1 1+a1-a()2+()2=1.整理得 9a2-10a
13、+1=0.解得 a=或 a=1(舍去).19故实数 a 的值为.19 8.在 ABC 中,sinA+cosA=,AC=2,AB=3,求 tanA的值和 ABC 的面积.22解:=sinA+cosA=2 sin(A+45),22sin(A+45)=.120A180,A=105,tanA=tan105=tan(45+60)=1+31-3=-2-3.sinA=sin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin6012 ABC 的面积 SABC=ACABsinA 2+6 4=2312=(2+6).342+6 4=.补充例题1.已知 cotx=m,x(2k-,2k)(kZ),求
14、cosx 的值.(2)已知 tan=2,求 sincos 的值;(3)已知 sin+cos=,求 cos4+sin4 的值.123.已知 sin,cos 是方程 x2+px+p+1=0 的两根,求实数 p 的值.5.设 f()=sin(cos),g()=cos(sin),(1)若 f()g()0,求角 的取值范围;(2)设 0,若 f()的最大值、最小值分别是 a、b,g()的最大值、最小值分别是 c、d,试比较 a,b,c,d 的大小.1+m2 1+m2 m-253223-1 2k-2k(kZ)322(1)2k+2k+(kZ);(2)bdac.2.(1)已知 tan=2,求 2sin2-sincos+cos2 的值;35-24.若=cot-csc,求 的取值范围.1-cos1+cos
