1、课时作业15导数的综合应用一、选择题(每小题5分,共40分)1已知f(x)x2cosx,x1,1,则导函数f(x)是()A仅有最小值的奇函数B既有最大值,又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值,又有最小值的奇函数解析:f(x)xsinx,显然f(x)是奇函数,令h(x)f(x),则h(x)xsinx,求导得h(x)1cosx.当x1,1时,h(x)0,所以h(x)在1,1上单调递增,有最大值和最小值所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数答案:D2函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为()A0a1B0a1C1a1 D0a解析:y3x23a,令y0,可得:
2、ax2.又x(0,1),0a0时,f(x)0,g(x)0,则x0,g(x)0 Bf(x)0,g(x)0Cf(x)0 Df(x)0,g(x)0时,f(x),g(x)都单调递增,则当x0,g(x)0.答案:B4从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3C144 cm3 D160 cm3解析:设盒子容积为y cm3,盒子的高为x cm,则x(0,5)则y(102x)(162x)x4x352x2160x,y12x2104x160.令y0,得x2或(舍去),ymax6122144(cm3)答案:C5(20
3、13湖北,10)已知a为常数,函数f(x)x(lnxax)有两个极值点x1,x2(x10,f(x2) Bf(x1)0,f(x2)0,f(x2) Df(x1)解析:f (x)lnx2ax1,lnx2ax10(x0)即2a在(0,)上有两个不同根x1,x2,令g(x)(x0),g(x),则0x0;x1时,g(x)0.则x1时,g(x)max1,x0时,g(x)0.因直线y2a与yg(x)(x0)图像有不同交点,则02a1,0a,又在(x1,1)上g(x)为增函数,f(x1)f(1)af(1)a,故选D.答案:D6若f(x),eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1解析:f(x),当xe时,f(
4、x)f(b),故选A.答案:A7(2013辽宁,12)设函数f(x)满足x2.f (x)2xf(x),f(2),则x0时,f(x)()A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析:令g(x)x2f(x),则g(x),f(x),所以f (x).令h(x)ex2g(x),则h(x)e2(),h(2)0,所以h(x)ex2g(x)在(0,2)上递减,在(2,)上递增,所以h(x)0,即e22g(x)0,因此f (x)0,即f(x)在(0,)上单调递增,选D.答案:D8(2014新余模拟)函数f(x)的定义域是R,f(0)2,对任意xR,f(x)f(x)1,
5、则不等式exf(x)ex1的解集为()Ax|x0 Bx|x0Cx|x1 Dx|x1或0xexex0,所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数,又因为g(0)e0f(0)e01,所以原不等式转化为g(x)g(0),解得x0.答案:A二、填空题(每小题5分,共15分)9直线ya与函数f(x)x33x的图像有相异的三个公共点,则a的取值范围是_解析:令f(x)3x230,得x1,可得极大值为f(1)2,极小值为f(1)2,如图,观察得2a0时,aacosxa,a1,0a1;当a0时适合;当a0时,aacosxa,a1,1a0;x(,时,y0,故函数在0,)上递增,在(,上递减,所以当x时,函数取最
6、大值,为.答案:三、解答题(共3小题,每小题15分,共45分解答写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)12某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a)解:(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为:L(x3a)(12x)2,x9,11(2)L(x)(12x)(182a3x)令L0,得x6a或12(不合题意,舍去)3
7、a5,86a.在x6a两侧L的值由正变负当86a9,即3a时,LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)当96a,即a5时,LmaxL(6a)(6a3a)12(6a)24(3a)3.Q(a)故若3a,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)9(6a)(万元);若a5,则当每件售价为(6a)元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)4(3a)3(万元)13(2014温州五校联考)已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式;(2)若过点A(1,m)(m2),可作曲线yf(x)的三条切线,求实数m的取值范围解:(1)f(x)3ax22bx
8、3,依题意,f(1)f(1)0,即解得a1,b0.f(x)x33x.(2)由(1)知f(x)3x233(x1)(x1),曲线方程为yx33x,点A(1,m)(m2)不在曲线上设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0x3x0.f(x0)3(x1),切线的斜率为3(x1),整理得2x3xm30.过点A(1,m)可作曲线的三条切线,关于x0的方程2x3xm30有三个实根设g(x0)2x3xm3,则g(x0)6x6x0,由g(x0)0,得x00或1.g(x0)在(,0)和(1,)上单调递增,在(0,1)上单调递减函数g(x0)2x3xm3的极值点为x00和1.关于x0的方程2x3xm30有三个实根的充要条件是解得3m2.故所求实数m的取值范围是(3,2)14已知函数f(x)在x0,x处存在极值(1)求实数a,b的值;(2)当ce时,讨论关于x的方程f(x)kx(kR)的实根个数解析:(1)当x1时,f(x)3x22axb.因为函数f(x)在x0,x处存在极值,所以解得a1,b0.(2)由方程f(x)kx,知kx因为0一定是方程的根,所以仅就x0时进行研究:方程等价于k构造函数g(x)对于x0,知函数g(x)在(1,)上单调递增所以,当k或k0时,方程f(x)kx有一个实根;当k时,方程f(x)kx有两个实根;当0k时,方程f(x)kx有三个实根