1、课时作业15导数的综合应用一、选择题(每小题5分，共40分)1已知f(x)x2cosx，x1,1，则导函数f(x)是()A仅有最小值的奇函数B既有最大值，又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值，又有最小值的奇函数解析：f(x)xsinx，显然f(x)是奇函数，令h(x)f(x)，则h(x)xsinx，求导得h(x)1cosx.当x1,1时，h(x)0，所以h(x)在1,1上单调递增，有最大值和最小值所以f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数答案：D2函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1B0a1C1a1 D0a解析：y3x23a，令y0，可得：
2、ax2.又x(0,1)，0a0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x0，g(x)0.答案：B4从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3C144 cm3 D160 cm3解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x(0,5)则y(102x)(162x)x4x352x2160x，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6122144(cm3)答案：C5(20
3、13湖北，10)已知a为常数，函数f(x)x(lnxax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2) Bf(x1)0，f(x2)0，f(x2) Df(x1)解析：f (x)lnx2ax1，lnx2ax10(x0)即2a在(0，)上有两个不同根x1，x2，令g(x)(x0)，g(x)，则0x0；x1时，g(x)0.则x1时，g(x)max1，x0时，g(x)0.因直线y2a与yg(x)(x0)图像有不同交点，则02a1,0a，又在(x1,1)上g(x)为增函数，f(x1)f(1)af(1)a，故选D.答案：D6若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1解析：f(x)，当xe时，f(
4、x)f(b)，故选A.答案：A7(2013辽宁，12)设函数f(x)满足x2.f (x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析：令g(x)x2f(x)，则g(x)，f(x)，所以f (x).令h(x)ex2g(x)，则h(x)e2()，h(2)0，所以h(x)ex2g(x)在(0,2)上递减，在(2，)上递增，所以h(x)0，即e22g(x)0，因此f (x)0，即f(x)在(0，)上单调递增，选D.答案：D8(2014新余模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，
5、则不等式exf(x)ex1的解集为()Ax|x0 Bx|x0Cx|x1 Dx|x1或0xexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数，又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)9直线ya与函数f(x)x33x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是_解析：令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图，观察得2a0时，aacosxa，a1，0a1；当a0时适合；当a0时，aacosxa，a1，1a0；x(，时，y0，故函数在0，)上递增，在(，上递减，所以当x时，函数取最
6、大值，为.答案：三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12某分公司经销某品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L(x3a)(12x)2，x9,11(2)L(x)(12x)(182a3x)令L0，得x6a或12(不合题意，舍去)3
7、a5，86a.在x6a两侧L的值由正变负当86a9，即3a时，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)当96a，即a5时，LmaxL(6a)(6a3a)12(6a)24(3a)3.Q(a)故若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)9(6a)(万元)；若a5，则当每件售价为(6a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)4(3a)3(万元)13(2014温州五校联考)已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点A(1，m)(m2)，可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围解：(1)f(x)3ax22bx
8、3，依题意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0.f(x)x33x.(2)由(1)知f(x)3x233(x1)(x1)，曲线方程为yx33x，点A(1，m)(m2)不在曲线上设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x3x0.f(x0)3(x1)，切线的斜率为3(x1)，整理得2x3xm30.过点A(1，m)可作曲线的三条切线，关于x0的方程2x3xm30有三个实根设g(x0)2x3xm3，则g(x0)6x6x0，由g(x0)0，得x00或1.g(x0)在(，0)和(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减函数g(x0)2x3xm3的极值点为x00和1.关于x0的方程2x3xm30有三个实根的充要条件是解得3m2.故所求实数m的取值范围是(3，2)14已知函数f(x)在x0，x处存在极值(1)求实数a，b的值；(2)当ce时，讨论关于x的方程f(x)kx(kR)的实根个数解析：(1)当x1时，f(x)3x22axb.因为函数f(x)在x0，x处存在极值，所以解得a1，b0.(2)由方程f(x)kx，知kx因为0一定是方程的根，所以仅就x0时进行研究：方程等价于k构造函数g(x)对于x0，知函数g(x)在(1，)上单调递增所以，当k或k0时，方程f(x)kx有一个实根；当k时，方程f(x)kx有两个实根；当0k时，方程f(x)kx有三个实根