1、数学第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，则AB，CD，2设为虚数单位，复数满足，则A1BC2D3若在是减函数，则的最大值是ABCD4已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A2BC3D5我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A1盏B3盏C5盏D9盏6在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）ABCD7已知是椭圆与双曲
2、线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）AB3C6D8设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A若是等差数列，则是等方差数列B是等方差数列C若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列D若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列10如图,在棱长均相等的四棱锥中
3、, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：( )A平面B平面平面C直线与直线所成角的大小为 D11针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人附表：附：ABCD12对于函数，下列说法正确的是（ ）A在处取得极大值B有两个不同的零点C D若在上恒成立，则第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设，则的最小值为_.14从1，3，5，7，9中任取2个数字，从
4、0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)15在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上，_16已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_四、解答题：本题共4小题，共70分。17（10分）ABC的内角的对边分别为,已知ABC的面积为(1)求;(2)若求ABC的周长.18（10分）已知数列满足：，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前n项和，求证：19（10分）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.20（12分）2019年“非洲
5、猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）.（1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生猪重量达不到270斤的概率（以频率代替概率）；（2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元；（3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量，试求随机变量的分布列及方差.21（14分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直
6、时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.22（14分）已知函数，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.答案1A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合，然后进行交集的运算即可。【详解】，；，故选【点睛】本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算2B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可【详解】由，得，故选【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算3A【解析】【分析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包
7、含关系确定的最大值.详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质： (1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间；由求减区间.4B【解析】【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5B【解析】【分析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故选B6C【解析】【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在
8、长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.7C【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，两式相减，可得：， ，当且仅当时取等号，的最小值为6，故选：C【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表
9、示是解题的关键，意在考查学生的计算能力8D【解析】【分析】设，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.9BCD【解析】【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；对于C选项，若是
10、等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，则，由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，则对任意的恒成立，则，得，此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.10ABD【解析】【分析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C，平移直线，找到线面角，
11、再计算；选项D,因为ONPD，所以只需证明PDPB，利用勾股定理证明即可.【详解】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以ON,由线面平行的判定定理可得，平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MNAB,又底面为正方形，所以MNCD，由线面平行的判定定理可得，CD平面OMN,又选项A得平面，由面面平行的判定定理可得，平面平面；选项C,因为MNCD，所以 PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以 PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又ON，所以，故ABD均正确.【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点
12、(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确11BC【解析】【分析】设男生的人数为，列出列联表，计算出的观测值，结合题中条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出男生人数的可能值.【详解】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：男生女生合计喜欢抖音不喜欢抖音合计则，由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，即，得，则的可能取值有、，因此，调查人数中男生人数的可能值为或.故选：BC.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出列联表，并结合临界值
13、表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.12ACD【解析】【分析】对于选项A、C，只需研究的单调性即可；对于选项B，令解方程即可；对于选项D，采用分离常数，转化为函数的最值即可.【详解】由已知，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，A正确；又令得，即，当只有1个零点，B不正确；，所以，故C正确；若在上恒成立，即在上恒成立，设，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.13【解析】【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值【详
14、解】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立141260.【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.15【解析】由题意椭圆中 故是椭圆的两个焦点， ，由正弦定理得 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义
15、以及正弦定理的应用其中合理转化椭圆定义进而应用正弦定理是解题的关键16【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内17(1)(2) .【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故
16、.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18(1) ； ；(2) (3)见证明；【解析】【分析】（1）令可求
17、得；（2）在已知等式基础上，用代得另一等式，然后相减，可求得，并检验一下是否适合此表达式；（3）用裂项相消法求和【详解】解：（1）由已知得， (2)由，得时，-得，也适合此式，（）（3）由（2）得，【点睛】本题考查由数列的通项公式，考查裂项相消法求和求通项公式时的方法与已知求的方法一样，本题就相当于已知数列的前项和，要求注意首项求法的区别19（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即，又因为，利用线面垂直的判定定理可以得出平面，又平面，利用面面垂直的判定定理证得平面平面；（2）结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面的法向
18、量，设与平面所成角为，利用线面角的定义，可以求得，得到结果.【详解】（1）由已知可得，又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）作，垂足为.由（1）得，平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）可得，.又，所以.又，故.可得.则 为平面的法向量.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦
19、值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.20(1)0.25 (2)1222.4万元(3)见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，求对应条形的面积，可得生猪重量达不到270斤概率；（2）利用组中值乘以频率再作和，求得生猪重量的平均数，再用重量乘以单价乘以头数得到销售收入；（3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为，利用二项分布的特征求得其分布列，利用公式求得其方差.【详解】（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为.（2）生猪重量的平均数为（斤）.所以估计该企业本养殖周期的销售收入是（万元）. （3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及
20、以上的概率为，由题意可得随机变量的所有可能取值为，则， ， 随机变量的分布列为Y012P随机变量的方差【点睛】该题主要考查了概率与统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的应用，利用频率分布直方图求平均数，二项分布的分布列以及其方差，从频率分布直方图中获取信息是解题的关键，属于简单题目.21（1）的方程为或；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；（2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证
21、得结果.【详解】（1）由已知得，l的方程为.由已知可得，点的坐标为或.所以的方程为或.（2）当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，则，直线、的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故、的倾斜角互补，所以.综上，.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两
22、根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.22（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域和导数，由得出和，然后对和的大小关系进行分类讨论，分析导数符号，可得出函数的单调增区间和减区间；（2）由，得出，得出，构造函数，将问题转化为，其中，然后利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，令，可得或.当时，即当时，对任意的，此时，函数的单调递增区间为；当时，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由题意，可得，可得，其中.构造函数，则.，令，得.当时，；当时，.所以，函数在或处取得最小值，则，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，在求解时充分利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题.
