1、第六讲函数的单调性与最大(小)值一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1下列函数中，在区间(0，)上不是增函数的是()Ay2x1By3x21Cy Dy|x|解析：由函数单调性定义知选C.答案：C2定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是() Ayx21By|x|1CyDy解析：利用偶函数的对称性知f(x)在(2,0)上为减函数又yx21在(2,0)上为减函数；y|x|1在(2,0)上为减函数；y在(2,0)上为增函数，y在(2,0)上为减函数故选C.答案：C3(2010北京)给定函数yx
2、；ylog(x1)；y|x1|；y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A BC D解析：是幂函数，其在(0，)上为增函数，故此项不符合题意；中的函数是由函数ylogx向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，)上为减函数，故此项符合题意；中的函数图象是函数yx1的图象保留x轴上方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.答案：B4已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析：f(x)由
3、f(x)的图象可知f(x)在(，)上是单调递增函数，由f(2a2)f(a)得2a2a，即a2a20，解得2a1.故选C.答案：C5(2010抚顺六校第二次模拟)f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)解析：因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得解得4a2时，f(x)单调递增，如果x1x24，且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值()A恒小于0 B恒大于0C可能为0 D可正可负解析：因为(x12)(x22)0，若x1x2，则有x12x2，即2x22时，f(x)单调递增且f(x)f(x4)，所以有f(x2)f(4x1)
4、f(x1)，f(x1)f(x2)0；若x2x1，同理有f(x1)f(x2)0，故选A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7若函数f(x)|logax|(0a1)在区间(a,3a1)上单调递减，则实数a的取值范围是_解析：由于f(x)|logax|在(0,1上递减，在(1，)上递增，所以0a3a11，解得a，此即为a的取值范围答案：1，则f(x)为增函数，所以f(x)maxaloga2，f(x)min1，依题意得aloga21a，即loga21，解得a(舍去)若0a1，则f(x)为减函数，所以f(x)minaloga2，f(x)max1，依题
5、意得aloga21a，于是a，故填.答案：9已知定义在区间0,1上的函数yf(x)的图象如图所示，对于满足0x1x2x2x1；x2f(x1)x1f(x2)；x2x1，可得1，即两点(x1，f(x1)与(x2，f(x2)连线的斜率大于1，显然不正确；由x2f(x1)x1f(x2)得，即表示两点(x1，f(x1)、(x2，f(x2)与原点连线的斜率的大小，可以看出结论正确；结合函数图象，容易判断的结论是正确的答案：10已知函数f(x)(a1)(1)若a0，则f(x)的定义域是_；(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_解析：(1)当a0且a1时，由3ax0得x，即此时函数f
6、(x)的定义域是；(2)当a10，即a1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需3a10，此时1a3.当a10，即a0，此时a0.综上所述，所求实数a的取值范围是(，0)(1,3答案：(1)(2)(，0)(1,3三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11函数f(x)在区间(2，)上是递增的，求实数a的取值范围解：f(x)a.任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).函数f(x)在区间(2，)上为增函数，f(x1)f(x2)0，x120，x220，12a.即实数a的取值范围是.评析：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言
7、和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画逆用函数单调性的定义，根据x1x2与f(x1)f(x2)是同号还是异号构造不等式，通过分离参数来求其取值范围12已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)f(x)在R上是减函
8、数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.13已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足：对于任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，则有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的最大值；(3)若对于任意x0,1)，总有4f2(x)4(2a)f(x)54a0，求实数a的取值范围解：(1)对于条件，令x1x20得f(0)0，又由条件知f(0)0，故f(0)0.(2)设0x1x21，则x2x1(0,1)，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0.即f(x2)f(x1)，故f(x)在0,1上递增，从而f(x)的最大值是f(1)1.(3)因f(x)在0,1上是增函数，则f(x)0,1，又4f2(x)4(2a)f(x)54a0a对x0,1)恒成立，设y1f(x)1，则a1.
