1、 考点一 三角函数与解三角形 近几年高考三角函数或解三角形的解答题一般出现在解答题的第一大题,属中档题,在解答题中算较容易的题目,但有相当部分同学丢分,主要问题如下:问题一:公式变换与平移变换不准确而得不出正确的解析式;问题二:二倍角公式和辅助角公式应用不熟练;问题三:正、余弦定理公式应用不熟练;问题四:对三角函数单调性、值域、最值、周期求解方法掌握不牢.1(2017 年山东卷)设函数 f(x)=sin(x-6)+sin(x-2),其中 03.已知 f(6)=0.(1)求;(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4 个单位,得到函
2、数y=g(x)的图象,求 g(x)在-4,34 上的最小值.【分析】在整理的过程中二倍角公式和辅助角公式应用不熟练导致错误;公式变换与平移变换不准确而得不出正确的解析式导致错误;对三角函数最值求解方法掌握不牢导致错误.【解析】(1)f(x)=sin(x-6)+sin(x-2)=32 sin x-12cos x-cos x=32 sin x-32cos x=3(12sin x-32 cos x)=3sin(x-3).由 f(6)=06-3=k,kZ=6k+2,kZ,因为 03,所以=2.(2)由(1)得 f(x)=3sin(2x-3),所以 g(x)=3sin(x+4-3)=3sin(x-12)
3、.因为 x-4,34,所以 x-12-3,23,当 x-12=-3,即 x=-4 时,g(x)取得最小值-32.考点二 数列 数列作为解答题题型之一,难度相对于三角函数与解三角形、立体几何、概率与统计题型有些大,不少考生做不出或容易出错,存在的问题主要如下:问题一:对等差、等比数列的定义理解不透彻;问题二:运用公式“an=Sn-Sn-1”不当导致错误;问题三:对数列的前 n 项和、最值的求解方法掌握不够全面;问题四:不会解决数列、函数、不等式及证明的综合问题.2(2017 年全国卷)已知等差数列 的前 n 项和为Sn,等比数列 的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1
4、)若 a3+b3=5,求 的通项公式;(2)若 T3=21,求 S3.【分析】对等差、等比数列的定义、通项公式理解不彻底导致错误;对数列的前 n 项和的求解方法掌握不够全面导致错误;不能采用分类讨论的方法分别求和.【解析】(1)由题意知,an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1,2+2=2,3+3=5 -1+=2,-1+2+2=5 =1,=2.所以 bn=2n-1.(2)因为 T3=21,所以 b1+b2+b3=1+q+q2=21,解得 q=-5 或 q=4.当 q=-5 时,因为-1+d+q=2,所以 d=8.此时,S3=3a1+322 d=21;当 q=4 时,因为-1+d+q=2,所
5、以 d=-1.此时,S3=3a1+322 d=-6.考点三 立体几何 近几年高考,立体几何作为高考的前三大题之一,属中档题,出现在解答题中的第二或第三大题,题目不难,但很多考生会做却拿不到满分,存在的问题如下:问题一:缺乏转化思想意识,答题步骤不完整;问题二:用向量法,公式记不牢;问题三:线面关系定理条件把握不准;问题四:空间向量概念不清,空间立体感不强.3(2017 年全国卷)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是 PD 的中点.(1)证明:直线 CE平面 PAB;(2)点 M 在棱 PC 上,且直线
6、BM 与底面 ABCD 所成角为 45,求二面角 M-AB-D 的余弦值.【分析】不能正确进行转化证明,步骤不规范、不完整导致错误;证明线面平行,未强调CE平面PAB导致错误;空间向量概念不清,用错公式.【解析】(1)取 AD 的中点 O,连接 OC、OE,因为BAD=ABC=90,BC=12AD,所以 BC12AD,即 BCAO.所以四边形 OABC 为平行四边形,所以 OCAB.因为 AB平面 PAB,OC平面 PAB,所以直线 OC平面 PAB.因为 E 是 PD 的中点,所以 OEPA.因为 PA平面 PAB,OE平面 PAB,所以直线 OE平面 PAB.因为 PAAB=A,OCOE=
7、O,所以平面 OCE平面 PAB.因为 CE平面 OCE,CE平面 PAB,所以直线 CE平面 PAB.(2)取 AD 的中点 O,连接 OC、OP,因为PAD 为等边三角形,所以 POAD.因为平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,PO平面PAD,所以 PO平面 ABCD.因为 AOBC,所以四边形 OABC 为平行四边形,所以 ABOC,所以 OCAD.分别以 OC,OD,OP 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图.设 BC=1,则 P(0,0,3),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),所以 =(1,0,-3).设 M(x,y,z),则
8、=(x,y,z-3),=(1,0,0),因为点 M 在棱 PC 上,所以 =(01),即(x,y,z-3)=(1,0,-3),所以 M(,0,3-3),所以 =(-1,1,3-3),平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,0,1).因为直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45,所以|sin 45|=|cos|=|=|3-3|(-1)2+12+(3-3)21=22,解得=1-22,所以 =(-22,1,62).设平面 MAB 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则 =1=0,=-22 1+1+62 1=0.令 z1=1,则 m=(0,-62,1),所以 cos=|=1(-62)2+12=
9、105,所以所求二面角 M-AB-D 的余弦值为 105.考点四 概率与统计 近几年解答题的第三大题一般是考查概率的题.此题也属中档题,只要理解概率相关的概念和一些常见的方法,就很容易得分,但很多考生也易失分,主要出现的问题如下:问题一:计算平均值、方差出错;问题二:古典概型基本事件列举不全或列举错误;问题三:概率的相关概念独立事件、互斥事件、重复独立事件、排列组合、期望、方差理解不透彻,对分布列的定义理解不透彻;问题四:找不到应用题的突破口.4(2017 年北京卷)为了研究一种新药的疗效,选 100名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理
10、指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率;(2)从图中 A,B,C,D 四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求的分布列和数学期望 E();(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论)【分析】对古典概型定义理解不透彻;在运用排列组合求解时出现错误;对数学期望公式应用不熟练导致错误;不能根据图象正确估计方差导致错误.【解析】(1)由图可得,50 名服药患者有 15 人指标 y
11、 的值小于 60,设指标 y 小于 60 为事件 A,则 P(A)=C151C501=1550=310.(2)由图可知 A,C 的指标 x 大于 1.7,B,D 的指标 x 小于 1.7,则的所有可能取值为 0,1,2.则 P(=0)=C22C20C42=16,P(=1)=C21C21C42=46=23,P(=2)=C20C22C42=16.则的分布列为 0 1 2 P 16 23 16 所以 E()=016+123+216=1.(3)服药者指标 y 数据的方差大于未服药者中指标 y 数据的方差.考点五 解析几何 解析几何题作为高考解答题题型之一,在理科试卷中一般出现在倒数第二题,足见它的重要
12、性和难易程度,由多年的高考阅卷经验知,考生一般有如下问题:问题一:不能正确利用 a,b,c 的关系准确求出曲线方程造成后面过程不得分;问题二:忽视直线斜率的特殊情况及曲线中的隐含条件导致错误;问题三:忽视圆锥曲线定义中的条件及0 导致错误;问题四:运算量较大,涉及的点比较多,容易造成运算上的失误.5(2017 年全国卷)已知椭圆 C:22+22=1(ab0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,32),P4(1,32)中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明
13、:l 过定点.【分析】不能正确利用 a,b,c 的关系准确求出椭圆方程导致错误;忽视直线斜率不存在及0 导致错误;运算量较大,涉及的点比较多,容易造成运算上的失误.【解析】(1)根据对称性,椭圆必过点 P3、P4,又点 P4的横坐标为 1,椭圆必不过点 P1,所以过 P2,P3,P4三点,将P2(0,1),P3(-1,32)代入椭圆方程,得 12=1,12+342=1,解得 2=4,2=1,所以椭圆 C 的方程为24+y2=1.(2)当斜率不存在时,设 l:x=m,A(m,yA),B(m,-yA),由2A+2B=-1+-1=-2=-1,得 m=2,此时 l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满
14、足.当斜率存在时,设 l:y=kx+b(b1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立 =+,2+42-4=0,整理得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,x1+x2=-81+42,x1x2=42-41+42,则2A+2B=1-11+2-12 =2(k1+b)-2+1(k2+b)-112=2k+(-1)(1+2)12=2k+(-1)(-8)42-4=2k-2(-1)(+1)(-1)=-1,又 b1,可得 b=-2k-1,此时=-64k,存在 k0 成立.所以直线 l 的方程为y=kx-2k-1(k0),所以 l 过定点(2,-1).考点六 函数导数综合 近年来,高考逐渐加大对函数、导
15、数、不等式交汇题的考查力度,此类题型考生的常见问题有:问题一:忽略函数 f(x)的定义域而导致失分;问题二:函数极值点概念不清及导数与函数单调性关系不明导致错误;问题三:忽视参数对单调性的影响;问题四:不能进行合理转化,构造新函数,造成错解.6(2017 年全国卷)已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.【分析】求单调性时忽视参数对单调性的影响;函数极值点概念不清导致错误;不能进行合理转化,构造新函数进行求解.【解析】(1)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,则f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1
16、=(aex-1)(2ex+1),当 a0 时,aex-10,f(x)0 时,令 f(x)=0,即 aex-1=0,得 x=-ln a.x-ln a 时,f(x)-ln a 时,f(x)0,f(x)单调递增.综上,当 a0 时,f(x)在 R 上单调递减;当 a0 时,f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.(2)由(1)知,当 a0 时,f(x)在 R 上单调递减,故 f(x)在 R 上至多有一个零点,不满足条件.当 a0 时,f(x)min=f(-ln a)=1-1+ln a.令 g(a)=1-1+ln a(a0),则 g(a)=12+10.从而 g(a)在(
17、0,+)上单调递增,而 g(1)=0.故当 0a1 时,g(a)1 时 g(a)0.若 a1,则 f(x)min=1-1+ln a=g(a)0,f(x)0 恒成立,从而 f(x)无零点,不满足条件;若 a=1,则 f(x)min=1-1+ln a=0,f(x)=0 仅有一个实根 x=-ln a=0,不满足条件;若 0a1,则 f(x)min=1-1+ln a0,f(-1)=e2+e+1-2e0.故 f(x)在(-1,-ln a)上有一个零点,又 ln(3-1)ln1=-ln a,且f(ln(3-1)=eln(3-1)(aeln(3-1)+a-2)-ln(3-1)=(3-1)(3-a+a-2)-
18、ln(3-1)=(3-1)-ln(3-1)0.故 f(x)在(-ln a,ln(3-1)上有一个零点.又 f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增,故 f(x)在 R 上有两个零点.综上,0a1.数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.在高考考场上,能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备考中学会怎样解题,是一项重要的内容.本节结合具体的题目类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式,即所谓的“答题模板
19、”.“答题模板”就是把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题,按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答题格式化,在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化.【题型示例】一、函数与导数 函数是高中数学的核心内容,因而在历年的高考试题中,既有单纯考查函数的基本知识、基本方法的试题,又有在函数与其他知识交汇处设计的试题;既重视函数思想的考查,又重视函数应用题、探索题和创新题的考查.复习时要注意对基本概念的把握和应用,重视各种数学思想的综合应用.导数是高中数学的重点内容之一,同学们在复习时应注意导数的工具性作用,紧扣导数的应用这一重点,切
20、实掌握导数在解决函数问题时的应用方法,重视关于函数在数学建模中的问题,重视函数在经济活动和实际生活中的应用问题,学会数学思想和方法,寻找规律找出解题策略.1 设函数 f(x)=32+axe(aR).(1)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)若 f(x)在3,+)上为减函数,求 a 的取值范围.【思路分析】(1)看到“f(x)在 x=0 处取得极值”,想到“f(0)=0”.(2)看到“若 f(x)在3,+)上为减函数”,想到“利用导数分析函数的单调性”.【解析】(1)对 f(x)求导得f(x)=(6+)e-(32+ax
21、)e(e)2=-32+(6-a)x+ae.正确求出函数的导数可得 2 分 因为 f(x)在 x=0 处取得极值,所以 f(0)=0,即 a=0.写出 f(0)=0 得出 a 的值,可得 1 分 当 a=0 时,f(x)=32e,f(x)=-32+6xe,经检验 x=0 是极值点,故 f(1)=3e,f(1)=3e,求出 f(1)及 f(1)可得 1 分 所以 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y-3e=3e(x-1),化简得 3x-ey=0.写出切线方程可得 2 分(2)由(1)知 f(x)=-32+(6-a)x+ae,令 g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0,解得
22、 x1=6-2+366,x2=6-+2+366.x1,x2的值每求出 1 个得 1 分 当 xx1时,g(x)0,即 f(x)0,f(x)单调递减;当 x1x0,即 f(x)0,f(x)单调递增;当 xx2时,g(x)0,即 f(x)0,nN*.(1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线 x2-22=1 的离心率为 en,且 e2=53,证明:e1+e2+en4-33-1.【思路分析】(1)看到“Sn+1=qSn+1”,想到“由递推关系求通项公式”.(2)看到“离心率”想到“双曲线离心率公式”.【解析】(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn
23、+1+1,两式相减,得an+2=qan+1,n1.两式相减正确得 2 分 又由 S2=qS1+1,得 a2=qa1,故 an+1=qan对所有 n1 都成立.所以数列an是首项为 1,公比为 q 的等比数列.证出等比得2 分 又 2a2,a3,a2+2 成等差数列,所以可得 q=2.从而 an=2n-1.得出结论得 1 分(2)由(1)可知,an=qn-1,所以双曲线 x2-22=1 的离心率en=1+2=1+2(-1).求对 en得 2 分 由 e2=1+2=53,得 q=43.因为 1+q2(k-1)q2(k-1),所以 1+2(-1)qk-1(kN*).放缩去掉根号得 2 分 于是 e1
24、+e2+en1+q+qn-1=-1-1=4-33-1,求和正确得 2 分 故 e1+e2+en4-33-1.写出最后结论得 1 分【答题要求】答题要求 1:解题时,要将解题过程转化为得分点,对于是得分点的解题步骤一定要写全,阅卷时根据步骤评分,有则得分,无则不得分,步骤不全不能得满分.答题要求 2:准确把握数列与圆锥曲线、不等式的关系,在圆锥曲线、不等式背景下提取数列“元素”,应正确把握利用递推关系求数列通项公式的方法,并把数列与圆锥曲线、不等式有机地结合起来并利用放缩法证明不等式.三、三角函数 三角函数主要考查以下几个方面:(1)与求值、化简有关的问题,考查同角变换、诱导公式、两角和与差的三
25、角函数公式及二倍角公式等的应用.(2)与三角函数图象有关的问题,这类题目主要考查三角函数图象的画法及图象变换.(3)与三角函数性质有关的问题,多以考查三角函数的单调性、周期性和奇偶性为主.(4)解三角形问题,由考纲及近年的高考题来看,解三角形应该是今后高考命题的热点问题,尤其是有关三角形、三角函数与平面向量结合的综合问题,应该引起同学们的重视.3 在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知A=4,b2-a2=12c2.(1)求 tan C 的值.(2)若ABC 的面积为 3,求 b 的值.【思路分析】(1)看到“A=4,b2-a2=12c2”,想到“利用余弦定理转化变形”
26、,看到“求 tan C 的值”,想到“利用正弦定理化边为角,消元转化”.(2)看到“ABC 的面积”,想到“三角形面积公式”.【解析】(1)由 A=4 及余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos4,即a2=b2+c2-2bc.因为 b2-a2=12c2,所以-c2+2bc=12c2.即 3c=2 2b.正确运用余弦定理得 1 分,根据已知条件化简得 2 分 由正弦定理,得 3sin C=2 2sin B,由 A=4 得 B+C=34,即B=34-C,所以 3sin C=2 2sin(34-C)=2 2(22 cos C+22 sin C),即 sin C=2cos C,故 tan C=2.
27、运用正弦定理化边为角得 1 分,正确运用两角差的正弦公式化简,化弦为切得 2 分(2)SABC=12bcsin A=3.写出两积公式得 2 分 由(1)得 c=2 23 b.正确得出 b 和 c 的关系 2 分 因为 A=4,所以 23 b2 22=3,所以 b=3.准确计算出 b 的值得 2 分【答题要求】答题要求 1:本题中应用公式进行化简、转化的步骤、求关于b,c 的两个关系式的步骤等,如果不全,就会失分.答题要求 2:公式的熟记与灵活应用是得分的关键,本题中应用公式较多,如正弦定理、两角差的正弦公式、面积公式,能够正确应用并写出相应步骤即可得分.四、立体几何 立体几何部分在高考试卷中占
28、有重要的地位.一是考查三视图与直观图、空间几何体的表面积和体积,考查同学们通过直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算等认识和探索几何图形及其性质的基本方法;二是考查线线、线面及面面的平行与垂直、空间夹角及距离的计算,考查同学们的空间想象能力、计算能力和综合运用知识的能力,从解答题来看,使用传统方法和向量方法都能解决.4 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥 P-ABC 的体积.(2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 ACBM,并求的值.【思路分析】(1)看到“AB=1,AC=2,BAC=60”,想到“三角形面积公式”.
29、(2)看到“ACBM”,想到“线面垂直”.【解析】(1)由题意可得 SABC=12ABACsin 60=32,正确求出ABC 的面积得 1 分 由 PA平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高,又 PA=1,所以所求三棱锥的体积 V=13SABCPA=36.得出三棱锥的高得1 分,计算三棱锥的体积得 2 分 (2)在平面 ABC 内,过点 B 作 BNAC,垂足为点 N.在平面 PAC 内,过点 N 作 MNPA 交 PC 于点 M,连接 BM,作出点 M,得 2 分 由 PA平面 ABC 知 PAAC,所以 MNAC,由于 BNMN=N,所以 AC平面 MBN.又 BM平面 MB
30、N,所以 ACBM,证明 ACBM,得 2 分 在BAN 中,AN=ABcosBAC=12,所以 NC=AC-AN=32,由 MNPA,得=13.计算 AN,NC 的长度得 2 分,求出的值得 2 分【答题要求】答题要求 1:本题中对点 M 的确定,应遵循“一作”“二证”的原则,如果不全面就会失分.答题要求 2:在解题过程中,涉及有关长度、角、面积、体积等计算问题时,一定要细心准确,否则易导致思路正确,运算失误而扣分.五、解析几何 解析几何的解答题重点考查圆或圆锥曲线中的重要知识点,解题时有时还要用到平面几何的基本知识和向量的基本方法,这一点同学们应引起注意,解答题多为“压轴题”,集中考查综合
31、知识和灵活运用能力.综合试题的热点问题是:求曲线方程;轨迹问题;最值与定值问题;取值范围问题;存在性问题;创新型问题及与平面向量、导数内容相结合的问题等.5 如图,已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的长轴长为 4,焦距为 2 2.(1)求椭圆 C 的方程.(2)过动点 M(0,m)(m0)的直线交x 轴于点N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B.设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k,证明 为定值;求直线 AB 的斜率的最小值.【思路分析】(1)看到“长轴长,焦距”想到“2a,2
32、c”.(2)看到“斜率 k,k”想到“斜率公式”;看到“最小值”,想到“先表示后求最值”.【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c,由题意知 2a=4,2c=2 2,所以 a=2,b=2-2=2.运用 a、b、c 的关系求解得 1 分 所以椭圆 C 的方程为24+22=1.写对方程得 1 分(2)设 P(x0,y0)(x00,y00).由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m),所以直线 PM 的斜率 k=2-0=0.写对直线 PM 的斜率得 1 分 直线 QM 的斜率 k=-2-0=-30.写对直线 QM 的斜率也得 1 分 此时=-3,所以 为定值-3.得出结论=-3 得 1
33、分 设 A(x1,y1),B(x2,y2).直线 PA 的方程为 y=kx+m,直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.联立=+,24+22=1,整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.直线 PA 的方程与椭圆24+22=1 联立求解正确得 2 分 由 x0 x1=22-422+1,可得 x1=2(2-2)(22+1)0,所以 y1=kx1+m=2(2-2)(22+1)0+m.求出 A 点坐标得 1 分 同理 x2=2(2-2)(182+1)0,y2=-6(2-2)(182+1)0+m.求出 B 点坐标得 1 分 所以 x2-x1=2(2-2)(182+1)0-2(2-2)(22+
34、1)0=-322(2-2)(182+1)(22+1)0,y2-y1=-6(2-2)(182+1)0+m-2(2-2)(22+1)0-m=-8(62+1)(2-2)(182+1)(22+1)0,写对 x2-x1,y2-y1得 2 分 所以 kAB=2-12-1=62+14=14(6k+1),由 m0,x00,可知 k0,所以 kAB=14(6k+1)62,等号当且仅当 k=66 时取得.求出 AB 斜率最值得 1 分 此时 4-82=66,即 m=147,符合题意.所以直线 AB 的斜率的最小值为 62.写出结论得 2 分【答题要求】答题要求 1:本题中应用斜率公式进行化简,应用根与系数的关系求
35、坐标等,若不全则丢分.答题要求 2:准确应用斜率公式,根与系数的关系,基本不等式公式的熟记与灵活应用是本题的关键,本题字母多、运算量大,公式的灵活应用是能够正确写出相应步骤的关键.六、概率与统计 由于统计与概率与实际问题的联系非常密切,能很好地考查分析问题和解决问题的能力.概率与统计是高考考查的重点内容.解答题中主要考查概率的计算,离散型随机变量及其分布列和变量间的线性相关关系,这是高考的热点内容,它具有一定的综合性,又与实际生产、生活问题密切相关,能很好地考查分析问题的能力.6 某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如
36、下:上年度 出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内 出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【思路分析】(1)看到“图表”,想到“出险次数、保费、概率三者之间的关系”;(2)看到“本年度保费比基本保费高出 60%的概率”想到“条件概率”;(3)看到“平均
37、保费”想到“求期望”.【解析】(1)设 A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.弄清保费高于基本保费 a,对应概率求对得 3 分(2)设 B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3,故P(B)=0.10+0.05=0.15.保费高于基本保费的 60%,即为 1.6a 以上,对应出险次数 4 或 5及以上,得 1 分 又 P(AB)=P(B),故 P(B|A)=()()=()()=0.150.55=311,因此所求概
38、率为311.条件:续保人保费高于基本保费,根据条件概率公式求解得 3 分(3)记续保人本年度的保费为 X,则 X 的分布列为 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 分布列弄清随机变量的取值,以及对应的概率得 2 分 EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.利用期望公式求对期望得 3 分【答题要求】答题要求 1:本题中将相关事件字母化的步骤以及必要的语言叙述.答题要求 2:概
39、率与离散型随机变量的均值、方差公式,互斥事件有一个事件发生的概率公式,独立事件同时发生的概率公式等公式的熟练应用,并能准确运算,是得分的关键,如本题能正确应用 P(B|A)=()(),E(X)=X1P1+X2P2+XnPn等,且能准确计算,写出相应步骤即可得分.【总结】1.高考数学解答题虽然具有较强的知识综合性,思维的灵活性,但所考查的数学知识、方法,基本数学思想是不变的,题目形式的设置是相对稳定的,因而本讲结合近几年高考的重点、热点题型,通过对答题思路的分析、梳理,构建了几类重点题型的“答题模板”,目的是给考生一个在考前回顾如何规范思维,如何有效答题的辅助材料.重点是思维过程、规范解答和反思
40、回顾,结合具体题型给出了具有可操作性的答题程序.2.数学综合题的解题策略 解综合性问题的三字诀“三性”:(1)目的性:明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标.(2)准确性:提高概念把握的准确性和运算的准确性.(3)隐含性:注意题设条件的隐含性.审题这第一步,不要怕慢,其实慢中有快,解题方向明确,解题手段合理,这是提高解题速度和准确性的前提和保证.“三化”:(1)问题具体化;(2)问题简单化;(3)问题和谐化.“三转”:(1)语言转换能力;(2)概念转换能力;(3)数形转换能力.“三思”:(1)思路:由于综合题具有知识容量大,解题方法多的特点,因此,审题时应考虑多种解题思路.(2)思想:高考综
41、合题的设置往往会突显考查数学思想方法,解题时应注意数学思想方法的运用.(3)思辨:即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择.“三联”:(1)联系相关知识;(2)连接相似问题;(3)联想类似方法.3.求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题:读懂并深刻理解,译为数学语言,找出主要关系;(2)建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题;(3)求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;(4)评价:对结果进行验证或评估,对错误加以调节,最后将结果应用于现实,做出解释或验证.1.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知cos-3cos cos=3-.(1)求sin si
42、n 的值;(2)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围.【解析】(1)由正弦定理,得cos-3cos cos=3sin-sin sin,即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B,化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C).因为 A+B+C=,所以 sin C=3sin A,所以sin sin=3.(2)由sin sin=3 及正弦定理,得 c=3a.由题意知 +,2+2 2,又 b=10,可得52a 10.2.在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意 mN*,将数列an中落入区间(9m,92
43、m)内的项的个数记为 bm,求数列bm的前 m 项和 Sm.【解析】(1)因为an是等差数列,所以 a3+a4+a5=3a4=84,所以 a4=28.设数列an的公差为 d,则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9.所以 an=a4+(n-4)d=28+9(n-4)=9n-8(nN*).(2)对任意 mN*,若 9man92m,则 9m+89nb0),则 a=2,e=32.c=3,b2=1.椭圆 C2的方程为24+y2=1.(2)由 A(-2,0),设点 B 的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2).于是 A,B 两点的坐标满足方程组 =
44、(+2),24+2=1.由方程组消去 y 并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,由-2x1=162-41+42,得 x1=2-821+42,从而 y1=41+42.设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为(-821+42,21+42).当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是 =(-2,-y0),=(2,-y0),由 =4,得 y0=2 2.l 的方程为 y=0.当 k0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y-21+42=-1(x+821+42),令 x=0,解得 y0=-61+42,由 =(-2,-y0),=(x1,y1
45、-y0),=-2x1-y0(y1-y0)=-2(2-82)1+42+61+42(41+42+61+42)=4,整理得 7k2=2,故 k=147,l 的方程为 y=147(x+2).7.如图,抛物线 C1:y2=4x 的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆 C2:22+22=1(ab0)的长半轴相等,设椭圆的右顶点为 A,C1、C2在第一象限的交点为 B,O 为坐标原点,且OAB 的面积为2 63.(1)求椭圆 C2的标准方程;(2)过点 A 作直线 l 交 C1于 C、D 两点,射线 OC、OD 分别交 C2于 E、F 两点.求证:点 O 在以 EF 为直径的圆的内部;记OEF,OCD 的面积分
46、别为 S1,S2,问:是否存在直线 l,使得S2=3S1?请说明理由.【解析】(1)因为 y2=4x,所以焦准距 p=2,由抛物线 C1的焦准距与椭圆 C2的长半轴相等知 a=2.因为 SOAB=12|OA|yB=2 63,所以 yB=2 63,代入抛物线方程,求得 B(23,2 63),又点 B 在椭圆上,代入椭圆方程,解得 b2=3.故椭圆 C2的标准方程是24+23=1.(2)因为直线 l 不垂直于 y 轴,故可设直线 l 的方程为 x=my+2,由 =+2,2=4x,得 y2-4my-8=0.设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-8,故 x1x2=1
47、24 224=4.故 =x1x2+y1y2=4-8=-490,又EOF=COD,故EOF90,所以点 O 在以 EF 为直径的圆的内部.21=12|OC|OD|sin 12|OE|OF|sin=|=|1|2|.直线 OC 的斜率为11=41,故直线 OC 的方程为 x=14 y,由 =14 y,24+23=1,得2=643312+64,同理2=643322+64.所以22=64232(312+64)(322+64)=6423291222+643(12+22)+642=6432121+482,(21)2=122222=121+48232.mR,121+4823211232,21113 3.故不存
48、在直线 l,使得 S2=3S1.8.已知函数 f(x)=xln x.(1)求函数 f(x)的极值;(2)设函数g(x)=f(x)-k(x-1),其中kR,求函数g(x)在区间1,e上的最大值.【解析】(1)f(x)=ln x+1(x0).令 f(x)0,得 x1e;令 f(x)0,得 0 x1e.所以 f(x)的单调递增区间是(1e,+),单调递减区间是(0,1e),所以 f(x)的极小值为 f(1e)=-1e,无极大值.(2)g(x)=xln x-k(x-1),则 g(x)=ln x+1-k,由 g(x)=0,得x=ek-1,所以在区间(0,ek-1)上,g(x)为递减函数,在区间(ek-1
49、,+)上,g(x)为递增函数.当 ek-11,即 k1 时,在区间1,e上,g(x)为递增函数,所以 g(x)的最大值为 g(e)=e-ke+k;当 1ek-1e,即 1k2 时,g(x)的最大值是 g(1)或 g(e),由 g(1)=g(e),得 k=ee-1,当 1k0=g(1),g(x)的最大值为 g(e)=e-ke+k,当ee-1k2 时,g(e)=e-ke+k0=g(1),g(x)的最大值为 g(1)=0;当 ek-1e,即 k2 时,在区间1,e上,g(x)为递减函数,所以 g(x)的最大值为 g(1)=0.综上,当 kee-1时,g(x)的最大值为 e-ke+k;当 kee-1时,g(x)的最大值为 0.
