1、第三节基本不等式及其应用授课提示：对应学生用书第110页基础梳理1重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当ab时等号成立)2基本不等式：(1)基本不等式成立的条件是a0，b0(2)等号成立的条件是：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数3利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2 (简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1基本不等式的两种常用变形形式(1)ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)(2)ab2 (a0，b0，
2、当且仅当ab时取等号)2几个重要的结论(1).(2)2(ab0)(3) (a0，b0)四基自测1(基础点：求积的最值)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81 D82答案：C2(易错点：不等式的应用条件)若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2答案：D3(基础点：构造不等式的定值)已知x1，则x的最小值为_答案：54(易错点：“1”的代换)若1(a0，b0)，则ab的最小值为_答案：4授课提示：对应学生用书第110页考点一利用基本不等式求最值挖掘1直接应用基本不等式求最值/ 自主练透例1(1)当x0
3、时，函数f(x)有()A最小值1B最大值1C最小值2 D最大值2解析f(x)1.当且仅当x，x0，即x1时取等号所以f(x)有最大值1.答案B(2)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2C2 D4解析法一：由已知得 ，且a0，b0，ab b2a2 ，ab2 .法二：由题设易知a0，b0，2 ，即ab2，故选C.答案C破题技法对于两个正数，ab为定值，积ab有最大，当ab为定值，ab有最小，条件为“ab”，即满足“一正，二定，三相等”才是最值挖掘2先配凑，再应用/ 互动探究例2(1)已知x，则f(x)4x2的最小值为_解析因为x，所以4x50，所以f(x)4x2(4x5)32 3235
4、，当且仅当4x5，即x时取等号，所以f(x)的最小值为5.答案5(2)函数y(x1)的最小值为_解析因为yx1x12，因为x1，所以x10，所以y220，当且仅当x0时，等号成立答案0破题技法配凑，以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形一般地，形如f(x)axb的函数求最值时可以考虑配凑法将本例(1)改为：当x时，f(x)4x2的最小值为_解析：x，2x50.f(x)2(2x5)82882，当且仅当2(2x5)，即x时取等号答案：82挖掘3利用常值代换/ 互动探究例3(1)(2020西安模拟)已知x0，y0，lg
5、 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2B2 C4 D2 解析由lg 2xlg 8ylg 2得，lg 2x3ylg 2，x3y1，(x3y)24.故选C.答案C(2)(2020广东惠州三调)在ABC中，点D是AC上一点，且4，P为BD上一点，向量(0，0)，则的最小值为()A16 B8C4 D2解析由题意可知，4，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条件可得41，又因为0，0，所以()(4)88216，当且仅当，时等号成立，故的最小值为16.故选A.答案A破题技法本题突破的关键是利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知axby(或)为定值，求cxdy(或)的最值(其中a，b，
6、c，d均为常参数)”时可用常值代换处理1已知实数a0，b0，1，则a2b的最小值是()A3 B2C3 D2解析：a0，b0，a11，b11，又1，a2b(a1)2(b1)3(a1)2(b1)312322，当且仅当，即ab1时取得“”，故选B.答案：B2已知x0，y0且x3y3，求的最小值解析：由x3y3得(x3y)1，(x3y)() ，当且仅当时取“”考点二基本不等式的综合应用挖掘1判断不等关系/ 自主练透例1(1)(2020南昌调研)已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aab2Ba2b22abC.2 D|2解析对于A，当a，b为负数时，ab2 不成立；对于B，当ab时，a2b22
7、ab不成立；对于C，当a，b异号时，2不成立；对于D，因为，同号，所以|2 2(当且仅当|a|b|时取等号)，即|2恒成立答案D(2)下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析对选项A，当x0时，x2x0，lglg x，故不成立；对选项B，当sin x0时显然不成立；对选项C，x21|x|212|x|，一定成立；对选项D，x211，01，故不成立答案C挖掘2求参数问题/ 互动探究例2(1)对任意m，nR，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A. B2C4 D解析对任意m，nR，都有m2amn2n20，m22n
8、2amn，即a恒成立，22，当且仅当时取等号，a2，故a的最大值为2，故选B.答案B(2)若对x，y1，2，xy2，总有不等式2x成立，则实数a的取值范围是_解析由题意知a(2x)(4y)恒成立，则只需a(2x)(4y)min，(2x)(4y)84x2yxy8(4x2y)210(4x2y)10.令f(x)10，x1，2，则f(x)，f(x)0，故f(x)在x1，2上是减函数，所以当x2时f(x)取最小值0，即(2x)(4y)的最小值为0，所以a0.答案(，0破题技法求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围挖掘3基本不等式的推广/互动探究例3已知a0，b0，c0且abc1.求证：(ab)3(bc)3(ca)324.证明a0，b0，c0，abc1，(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)322224.当且仅当abc1时，“”成立故有(ab)3(bc)3(ca)324.破题技法用基本不等式求解其他问题(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解拓展对于a0，b0，c0，有基本不等式为或a3b3c33abc.进而推广，对于n个正数x1，x2，x3xn，有，当且仅当x1x2xn时，等号成立
