1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式授课提示：对应学生用书第64页基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S()：sin()sin cos cos sin (2)S()：sin()sin cos cos sin (3)C()：cos()cos cos sin sin (4)C()：cos()cos cos sin sin (5)T()：tan()(6)T()：tan()2倍角公式(1)S2：sin 22sin cos (2)C2：cos 2cos2sin2 2cos21 12sin2(3)T2：tan 21和、差、倍公式的转化2公式的重要变形(1)降幂公式：cos2，sin2.(2)
2、升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.(3)公式变形：tan tan tan()(1tan tan )(4)辅助角公式：asin xbcos xsin(x).四基自测1(基础点：构造和角公式)已知sin，则sin 的值为()A.B.C. D答案：D2(基础点：逆用公式)化简cos 15cos 45cos 75sin 45的值为()A. BC D答案：A3(基础点：倍角公式)若sin ，则cos 2_答案：4(基础点：正切倍角公式)若是第二象限角，且sin()，则tan 2_答案：授课提示：对应学生用书第64页考点一两角和、差及倍角公式的直接应用挖掘1给值(角)求值/ 互动探
3、究例1(1)(2019高考全国卷)tan 255()A2B2C2 D2解析tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)2.故选D.答案D(2)(2018高考全国卷)已知tan，则tan _解析法一：tantan，解得tan .法二：tantantan tan.答案(3)已知sin，则sin 2_解析sin 2cos2sin2121.答案(4)已知f(x)2cos.设，f，f，求cos()的值解析由已知f(x)2cos.又因为f，所以2cos2cos，所以sin .又因为f，所以2cos2cos ，所以cos .又因为，所以cos ，sin ，所以cos()cos cos s
4、in sin .挖掘2给值求角/ 互动探究例2(1)(2020河南六市联考)已知cos ，cos()，若0，则_解析由cos ，0，得sin ，又0，0，sin() ，由()得cos cos()cos cos()sin sin()，(0，)，.答案(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_解析tan tan()0，(0，)，0.又tan 20，02，tan(2)1，tan 0，20，2.答案破题技法1.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)使用公式求值时，应注
5、意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等2三角函数求值有三类(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角考点二两角和、差及倍角公式的逆用和变形用挖掘1求
6、值问题/ 互动探究例1(1)计算的值为()AB.C. D解析原式.答案B(2)(2020辽宁省沈阳四校协作体联考)_解析4.答案4(3)(2020重庆市三诊)_(用数字作答)解析原式4.答案4挖掘2化简问题/ 互动探究例2(1)化简：_解析原式cos 2x.答案cos 2x(2)(2020湖南衡阳质检)已知m，若sin 2()3sin 2，则m()A. BC. D2解析设A，B，则2()AB，2AB，因为sin 2()3sin 2，所以sin(AB)3sin(AB)，即sin AcosBcos Asin B3(sin Acos Bcos Asin B)，即2cos Asin Bsin Acos
7、 B，所以tan A2tan B，所以m2，故选D.答案D破题技法1.将tan()整理变形为tan tan tan()tan tan tan()，即tan 60tan(2040)得出tan 20tan 40后代入2(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)和差角公式变形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1tan tan )(3)倍角公式变形：降幂公式拓展1sin ，1cos 2cos2 ，1cos 2sin2.提醒：tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(
8、或tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题挖掘3创新归纳/互动探究例3已知：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101，tan 5 tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51，tan 20tan 30tan 30tan 40tan 40tan 201成立由此得到一个由特殊到一般的推广此推广是什么？并证明解析观察到：10206090，5751090，20304090，猜想此推广为：若90，且，都不为k18090(kZ)，则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：因为90，所以90()，故tan tan 90().所以tan tan tan tan 1tan tan ，即tan tan tan tan tan tan 1.破题技法归纳与猜想，主要考查逻辑推理的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳与类比，另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎
