1、专项 与三角形的角平分线有关的规律探究题1.2020山东聊城期末如图,在ABC中,A=m,ABC和ACD的平分线交于点A1,A1BC和A1CD的平分线交于点A2A2 020BC和A2 020CD的平分线交于点A2 021,则A2 021=.答案1.(22 021)BA1平分ABC,CA1平分ACD,A1BC=12ABC,A1CD=12ACD.A1CD=A1+A1BC,即12ACD=A1+12ABC,A1=12(ACD-ABC).A+ABC=ACD,A=ACD-ABC,A1=12A,同理可得,A2=12A1=122A,以此类推可知A2 021=122 021A=(m22 021).2.(1)如图
2、1,在ABC中,ABC,ACB的角平分线交于点O,若A=50,则BOC的度数为 ;(2)如图2,在ABC中,ABC,ACB的三等分线分别对应交于O1,O2,当BO2C=2A时,求A的度数;(3)如图3,在ABC中,ABC,ACB的n(n1)等分线分别对应交于O1,O2,1,当B1C=2A时,猜想:A的度数为 (用含n的代数式表示).2.解:(1)115OB,OC分别是ABC和ACB的角平分线,OBC+OCB=12ABC+12ACB=12(ABC+ACB),又A=50,OBC+OCB=12(180-50)=65,BOC=180-(OBC+OCB)=180-65=115.(2)点O2是ABC与AC
3、B的三等分线的交点,O2BC+O2CB=23(ABC+ACB)=23(180-A).BO2C=2A,BO2C=180-(O2BC+O2CB)=180-23(180-A)=2A,A=45.答案(3)180+1点1是ABC与ACB的n等分线的交点,1BC+1CB=1(ABC+ACB)=1(180-A),1C=180-1(180-A),又B1C=2A,180-1(180-A)=2A,A=180+1.3.在ABC中,BO平分ABC,点P为直线AC上一动点,POBO于点O.(1)如图1,若ABC=40,BAC=30,点P与点C重合,则APO=;(2)如图2,当点P在AC的延长线上时,试说明APO=12(ACB-BAC);(提示:延长BO交AC于点D)(3)如图3,当点P在图中所示位置时,请直接写出APO与ACB,BAC之间的数量关系.答案3.解:(1)40(2)如图,延长BO交AC于点D.POBO,APO=90-1.BO平分ABC,ABO=12ABC,1=ABO+BAC=12ABC+BAC.BAC+ABC+ACB=180,ABC=180-ACB-BAC,1=12(180-ACB-BAC)+BAC=90-12ACB+12BAC,APO=90-1=12ACB-12BAC=12(ACB-BAC).(3)APO=180-12(ACB-BAC).
