1、高考资源网（ ），您身边的高考专家第4节数列求和 【选题明细表】知识点、方法题号公式法求和1、2、8、12分组转化法求和3、9、14并项法求和4、7裂项相消法求和5、10、13、15错位相减法求和6、11、16一、选择题1.(2013山东省泰安市高三期中)在等差数列an中,a9=a12+6,则数列an的前11项和S11等于(D)(A)24(B)48(C)66(D)132解析:法一设数列an的公差为d,首项为a1,则由题意得a1+8d=(a1+11d)+6,整理得a1+5d=12,即a6=12,因此S11=11a6=132.故选D.法二由a9=a12+6得=a12+6,所以a6=12,S11=1
2、1a6=32,故选D.2.(2013山东省实验中学第三次诊断性测试)在等差数列an中,a1=-2013,其前n项和为Sn,若-=2,则S2013的值等于(B)(A)-2012(B)-2013(C)2012(D)2013解析:S12=12a1+d,S10=10a1+d,所以=a1+d,=a1+d,所以-=d=2,所以S2013=2013a1+d=2013(-2013+2012)=-2013,故选B.3.数列1+2n-1的前n项和为(C)(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1(D)n+2+2n解析:由题意得an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1,故选C.4.(2012年高考福建卷
3、)数列an的通项公式an=ncos ,其前n项和为Sn,则S2012等于(A)(A)1006(B)2012(C)503(D)0解析:an=ncos ,当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=其中mN*,S2012=a1+a2+a3+a4+a5+a2012=a2+a4+a6+a8+a2012=-2+4-6+8-10+12-14+2012=(-2+4)+(-6+8)+(-2010+2012)=2503=1006.故选A.5.(2013辽宁省五校联考)已知幂函数f(x)=x的图象过点(4,2),令an=f(n+1)+f(n),nN*,记数列的前n项和为Sn,则Sn=10时,n的值是(B)(A)1
4、0(B)120(C)130(D)140解析:幂函数f(x)=x过点(4,2),4=2,=,f(x)=,an=f(n+1)+f(n)=+,=-.Sn=(-1)+(-)+(-)=-1.又Sn=10,-1=10,n=120.故选B.6.Sn=+等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:法一由Sn=+,得Sn=+,-得,Sn=+-=-,Sn=.故选B.法二取n=1,S1=,代入各选项验证可知选B.7.数列an的通项an=sin ,前n项和为Sn,则S2015等于(B)(A)(B)0(C)1(D)-解析:由an=sin ,知数列an是以6为周期的数列,且a1+a2+a6=0,则S2015=(a1+a2+a
5、6)+(a2005+a2010)+a2011+a2015=a1+a2+a5=0.故选B.二、填空题8.(2013北京市东城区联考)若数列an满足a1=1,an+1=2an(nN*),则a3=,前5项的和S5=.解析:由an+1=2an(nN*),得数列an是首项为1公比为2的等比数列,所以a3=a1q2=22=4,S5=31.答案:4319.数列,的前n项和为.解析:由于an=n+,Sn=+=(1+2+3+n)+=+=-+1.答案:-+110.(2013温州高三质检)若已知数列的前四项是、,则数列前n项和为.解析:因为通项an=,所以此数列的前n项和Sn=1-+-+-+-+-=-.答案:-11
6、.已知数列an的前n项和为Sn且an=n2n,则Sn=.解析:Sn=a1+a2+a3+an,Sn=2+222+323+n2n,2Sn=22+223+(n-1)2n+n2n+1,-得,-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-n2n+1-2,Sn=(n-1)2n+1+2.答案:(n-1)2n+1+212.(2013河南省平顶山二模)设数列an的通项为an=2n-10(nN*),则|a1|+|a2|+|a15|=.解析:an=2n-10,a1=-8,公差d=2.当1n5时,an0,当n5时,an0,则|a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a5)+(a6+a7+a1
7、5)=-S5+S15-S5=S15-2S5=-815+2-2-85+2=130.答案:13013.(2013甘肃省兰州第三次模拟)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.解析:因为y=xn+1(nN*),所以y=(n+1)xn(nN*),所以y|x=1=n+1,所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=,所以xn=,所以an=lg xn=lg=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+(lg
8、 3-lg 4)+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2.答案:-2三、解答题14.(2013山东省青岛市高三期中考试)设an是公差大于零的等差数列,已知a1=2,a3=-10.(1)求an的通项公式;(2)设bn是以1为首项,以3为公比的等比数列,求数列an-bn的前n项和Sn.解:(1)设an的公差为d,则解得d=2或d=-4(舍),所以an=2+(n-1)2=2n.由题意知bn=3n-1,所以an-bn=2n-3n-1,故Sn=(2-30)+(4-31)+(2n-3n-1)=-=n2+n+-3n.15.(2013年高考新课标全国卷)已知等差数列an的前n项和Sn满足S
9、3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解:(1)设数列an的公差为d,由已知可得解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知=-,从而数列的前n项和为-+-+-=.16.(2013山东师大附中第三次模拟)已知等差数列an的首项为a,公差为d,且方程ax2-3x+2=0的解为1,d.(1)求an的通项公式及前n项和公式Sn;(2)求数列3n-1an的前n项和Tn.解:(1)由方程ax2-3x+2=0的两根为1,d.可得解得a=1,d=2.由此知an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n2.(2)令bn=3n-1an=(2n-1)3n-1,
10、则Tn=b1+b2+b3+bn=11+33+532+(2n-1)3n-1,3Tn=13+332+533+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,两式相减,得-2Tn=1+23+232+23n-1-(2n-1)3n=1+-(2n-1)3n=-2-2(n-1)3n,Tn=1+(n-1)3n.大题冲关集训 1.(2012年高考重庆卷)已知 an为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求数列an的通项公式;(2)记an的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.解:(1)设数列an 的公差为d,由题意知解得a1=2,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2+2(n
11、-1)=2n.(2)由(1)可得Sn=n(1+n),因a1,ak,Sk+2 成等比数列,所以=a1Sk+2.从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0.解得k=6 或k=-1(舍去),因此k=6.2.(2013年高考福建卷)已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列, 所以=1(a1+2), 即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9, 所以5a1+10+8a1, 即+3a1-10
12、0,解得-5a12. 3.(2013山师大附中高三期中测试)等比数列an的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求an的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.解:(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a10,故2q2+q=0,又q0,从而q=-.(2)由已知可得a1-a1-2=3,故a1=4,从而Sn=.4.(2013泰安二模)已知等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4项.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)证明:+.(1)解:设等比数列的公比为q,a1,a4,a
13、13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,d2-2d=0,d=2或d=0(舍去).an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列bn的公比为=3,b1=1.bn=3n-1.(2)证明:由(1)知Sn=n2+2n,=-,+=1+-=-+.+=,-+,+0,解得2k-x2k+(kZ),令f(x)0,解得2k+x2k+(kZ),因此,当x=2k-(kZ)时,f(x)取极小值,即xn=2n-(nN*).(2)由(1)xn=2n-(nN*).得Sn=x1+x2+x3+xn=2(1+2+3+n)-=n(n+1)-.当n=3m(mN*)时,sin Sn=sin
14、(-2m)=0,当n=3m-1(mN*)时,sin Sn=sin=,当n=3m-2(mN*)时,sin Sn=sin=-,综上所述,sin Sn=6.(2013北京市东城区高三联考)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n(nN*).(1)求a1,a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)若数列bn的前n项和为Tn,且满足bn=nan(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解:(1)Sn=2an-n,令n=1,解得a1=1;令n=2,解得a2=3.(2)Sn=2an-n,所以Sn-1=2an-1-(n-1),(n2,nN*).两式相减得an=2an-1+1,所以an+1=2(an-
15、1+1),(n2,nN*).又因为a1+1=2,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列.所以an+1=2n,即通项公式an=2n-1(nN*).(3)因为bn=nan,所以bn=n(2n-1)=n2n-n,所以Tn=(121-1)+(222-2)+(323-3)+(n2n-n)=(121+222+323+n2n)-(1+2+3+n).令Sn=121+222+323+n2n,2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,-得-Sn=21+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1.Sn=2(1-2n)+n2n+1=2+(n-1)2n+1,所以Tn=2+(n-1)2n+1-.7.(2
16、012年高考湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解:(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4500-d,an+1=an(1+50%)-d=an-d.(2)由(1)得an=an-1-d,an-2d=(an-1-2d),依题意a1-2d=3000-3d0,则数列an-2d是以3000-3d为首项,为公比的等比数列,所以an-2d=(3000-3d)n-1.即an=n-1(3000-3d)+2d.由题意,am=4000,所以m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d=.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m3)年企业的剩余资金为4000万元.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
