1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-第 3 讲 导数及其应用1(2015陕西)设 f(x)xsin x，则 f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数2(2014课标全国)已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a的取值范围是()A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)3(2014辽宁)当 x2,1时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A5，3B6，98C6，2D4，34(2013安徽)已知函数 f(x)x3ax2bxc 有两个极值点 x1，x2.若
2、 f(x1)x10)与曲线 C2：x2y252的一个公共点，若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是_热点二 利用导数研究函数的单调性1f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)x3 在(，)上单调递增，但 f(x)0.2f(x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f(x)0 时，则 f(x)为常函数，函数不具有单调性例 2(2015重庆)设函数 f(x)3x2axex(aR)(1)若 f(x)在 x0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 f(
3、x)在3，)上为减函数，求 a 的取值范围 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数 f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f(x)0 或f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0 附近左侧f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值2设函数 yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例 3(2015北京改编)设函数 f(x)x22kln x，
4、k0.(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)当 x1，e时，求 f(x)的最小值 思维升华(1)求函数 f(x)的极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检查 f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况来求解(3)求函数 f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-跟踪演练 3 已知函数 f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若 x1 是函数 yf(x)的极值点，求 a 的
5、值；(2)若 f(x)0”是“f(x)在 R 上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-5已知 a1xx ln x 对任意 x12，2恒成立，则 a 的最大值为()A0B1C2D36在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2bx(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_7已知函数 f(x)的定义域为 R，f(x)为 f(x)的导数，函数 f(x)的图象如图所示，且 f(2)f(3)1，则不等式 f(x26)1 的解集为_8已知函数
6、 f(x)4ln xax26xb(a，b 为常数)，且 x2 为 f(x)的一个极值点，则 a 的值为_9(2015重庆)已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，讨论 g(x)的单调性高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-10已知函数 f(x)x28ln x，x1,3(1)求 f(x)的最大值与最小值；(2)若 f(x)a2 成立，求实数 m 的取值范围高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-10-学生用书答案精析第 3 讲 导数及其应用高考真题体验1B f(x)xsin x 的定义域为 R，关
7、于原点对称，且 f(x)xsin(x)xsin xf(x)，故 f(x)为奇函数又 f(x)1cos x0 恒成立，所以 f(x)在其定义域内为增函数，故选 B.2B f(x)3ax26x，当 a3 时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当 x(，0)时，f(x)0；x(0，23)时，f(x)0，注意 f(0)1，f(23)590，则 f(x)的大致图象如图 1 所示不符合题意，排除 A、C.图 1当 a43时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当 x(，32)时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.当 x2,0)时，ax24x3x3，
8、ax24x3x3min.仍设(x)x24x3x3，(x)x9x1x4.当 x2，1)时，(x)0.当 x1 时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)14312，a2.综上知6a2.4A f(x)3x22axb；由已知 x1，x2 是方程 3x22axb0 的不同两根，当 f(x1)x10)，得 a4.例 2 解(1)对 f(x)求导得 f(x)6xaex3x2axexex23x26axaex，因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以 f(0)0，即 a0.当 a0 时，f(x)3x2ex，f(x)3x26xex，故 f(1)3e，f(1)3e，从而 f(x)在点(1，f(1)处的切线
9、方程为 y3e3e(x1)，化简得 3xey0.(2)由(1)知 f(x)3x26axaex.令 g(x)3x2(6a)xa，由 g(x)0，解得 x16a a2366，x26a a2366.当 xx1 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数；当 x1xx2 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数由 f(x)在3，)上为减函数，知 x26a a23663，解得 a92，故 a 的取值范围为92，.跟踪演练 2(1)B(2)(19，)高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-解析(1)由
10、题意知，函数的定义域为(0，)，又由 f(x)x1x0，解得 00，解得 a19.所以 a 的取值范围是(19，)例 3 解(1)函数的定义域为(0，)由 f(x)x22kln x(k0)得 f(x)xkxx2kx.由 f(x)0 解得 x k(负值舍去)f(x)与 f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：x(0，k)k(k，)f(x)0f(x)k1ln k2 所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，)f(x)在 x k处取得极小值 f(k)k1ln k2.(2)由(1)知，当 k e即 ke 时，f(x)minf(e)e2k2.当 1 k e即 1ke 时，f(x)m
11、inf(k)k1ln k2.当 k1 即 0k1 时，f(x)minf(1)12.故函数 f(x)在1，e上的最小值高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-f(x)min 12，0ke.跟踪演练 3 解(1)函数的定义域为(0，)，f(x)2a2x2ax1x.因为 x1 是函数 yf(x)的极值点，所以 f(1)1a2a20，解得 a12(舍去)或 a1.经检验，当 a1 时，x1 是函数 yf(x)的极值点，所以 a1.(2)当 a0 时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足 f(x)0 时，令 f(x)2ax1ax1x0，得x1 12a(舍去)，x21a，所以 f(x)
12、，f(x)的变化情况如下表：x(0，1a)1a(1a，)f(x)0f(x)极大值 所以 f(x)maxf(1a)ln 1a1.综上可得 a 的取值范围是(1，)高考押题精练1C yf(x)ln x 的定义域为(0，)，设切点为(x0，y0)，则切线斜率 kf(x0)1x0.切线方程为 yy01x0(xx0)，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-15-又切线过点(0,0)，代入切线方程得 y01，则 x0e，k1x01e.2A 由题意知 f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即32ab0，1aba27a10，解得a2，b1或a6，b9，经检验a6，b9满足题意，故ab
13、23.32解析 函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数，a21，得 a2.又g(x)2xax，依题意 g(x)0 在 x(1,2)上恒成立，得 2x2a 在 x(1,2)上恒成立，有 a2，a2.4.94，解析 由于 f(x)11x120，因此函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在 x1,2，使得 g(x)x22ax41，即 x22ax50，即 ax2 52x能成立，令 h(x)x2 52x，则要使 ah(x)在 x1,2能成立，只需使 ah(x)min，又函数 h(x)x2 52x在 x1,2上单调递减，所以 h(x)minh
14、(2)94，故只需 a94.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-16-二轮专题强化练答案精析第 3 讲 导数及其应用1C 根据 f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除 A、D；从适合 f(x)0 的点可以排除 B.2C f(x)1ln xx2，则 f(1)1，故该切线方程为 y(2)x1，即 xy30.3D f(x)2xln x(x0)，所以 f(x)2x21x.由 f(x)0，解得 x2.当 x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数x2 为 f(x)的极小值点4A f(x)32x2a，当 a0 时，f(x)0 恒成立，故“a0”是“f(x)在 R
15、上单调递增”的充分不必要条件5A 令 f(x)1xx ln x，则 f(x)x1x2，当 x12，1)时，f(x)0，f(x)在12，1上单调递减，在1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0.63解析 yax2bx的导数为 y2axbx2，直线 7x2y30 的斜率为72.由题意得4ab25，4ab472，解得a1，b2，则 ab3.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-17-7x|2x3 或3x2解析 由导函数 f(x)的图象可知，当 x0；当 x0 时，f(x)1，所以2x263，所以 2x3 或3x1 的解集为x|2x3 或3x281解析 由题意知，函数 f(x)的
16、定义域为(0，)，f(x)4x2ax6，f(2)24a60，即 a1.9解(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f43 0，即 3a169 243 16a3 830，解得 a12.(2)由(1)得 g(x)12x3x2 ex，故 g(x)32x22x ex12x3x2 ex12x352x22x ex12x(x1)(x4)ex.令 g(x)0，解得 x0，x1 或 x4.当 x4 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当4x1 时，g(x)0，故 g(x)为增函数；当1x0 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当 x0 时，g(x)0，故 g
17、(x)为增函数综上知 g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数10解(1)函数 f(x)x28ln x，f(x)x41x，令 f(x)0 得 x2，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-18-x1,3，当 1x2 时，f(x)0；当 2x0；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在 x2 处取得极小值 f(2)12ln 2；又 f(1)18，f(3)98ln 3，ln 31，18(98ln 3)ln 310，f(1)f(3)，x1 时 f(x)的最大值为18，x2 时函数取得最小值为12ln 2.(2)由(1)知
18、当 x1,3时，f(x)18，故对任意 x1,3，f(x)18对任意 t0,2恒成立，即 at318 恒成立，记 g(t)at，t0,2g0318，g2318，解得 a0)，问题转化为 aln x12x在(0，)上有两个实数解设 g(x)ln x12x，则 g(x)ln x2x2.所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)在 x1 处取得极大值也是最大值，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-19-即 g(x)maxg(1)12.注意 g(1e)0，当 x1 时，g(x)0，则 g(x)的大致图象如图所示由图象易知 0a0)当 a0 时，恒有 f(x)0，则 f(x)在(0，)上是增函数当 a0 时，若 0 x0，故 f(x)在(0,12a上是增函数；若 x 12a，则 f(x)0，故 f(x)在 12a，)上是减函数综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上是增函数；当 aa2 成立，等价于 maa2f(x)max.因为 a(4，2)，所以 24 12a122a，即 ma2.因为 a(4，2)，所以2a20.所以实数 m 的取值范围为 m2.
