1、第十三讲 函数模型及其应用班级_姓名_考号_日期_得分_一选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010杭州调研题)2002年初,甲乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现,这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同,其间每年缴纳的地税按各自的规律增长:企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.则2010年企业缴纳地税的情况是()A.甲多B.乙多C.甲乙一样多D.不能确定解析:设企业甲每年缴纳的地税组成数列an,由于企业甲年增长数相同,所以数列an是等差数列,则an是关于n的一次函数.设企业乙每年缴纳
2、的地税组成数列bn,由于企业乙年增长率相同,所以数列bn是等比数列,则bn是关于n的指数形函数.根据题意,a1=b1,a8=b8,如图知a9b9,故2010年企业乙缴纳的地税多.答案:B2.(2010北京海滨模拟题)北京电视台某星期六晚播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15 cm,体重15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm时,它的体重大约是()A.20 gB.25 gC.35 gD.40 g解析:假设小蜥蜴从15 cm长到20 cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比.记体长为l的蜥蜴的体重为wt,因此有w20
3、=w1535.56(g),合理的答案应该是35 g,选C.答案:C3.(2010长沙模拟题)在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据:x-2.0-1.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a、b为待定系数)?()A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=ax2+bD.y=a+解析:解法一:作散点图,由散点图可知,应选B.解法二:从表中发现0在函数的定义域内而否定D;函数不具奇偶性,从而否定C;自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.答案:B4.(2010江门诊断题)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了
4、应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%),则每年销售量将减少10x万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为()A.2B.6C.8D.10解析:(100-10x)70112,2x8.答案:A5.已知AB两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是()A.x=60tB.x=60t+50tC.D.解析:到达B地需要=2.5小时
5、;所以当0t2.5时,x=60t;当2.5t3.5时,x=150;当3.50).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,则a的最小值应为()A. B.5C.3D.解析:设对乙商品投入资金x万元,则投入甲商品的资金为(20-x)万元(0x20).则纯利润S(x)=,依题意应有S(x)5恒成立,即5,即a,由于0x20,答案:A二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2010武汉联考题)已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年剩留质量为y,则y关于x的函数关系是_.答案: (x0)8.
6、(2010温州统考题)某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为168元/套,以成本计算一套盈利20%而另一套亏损20%,则此商贩_.(填赚或赔多少钱)解析:设盈利的那套服装成本价为x,则x+20%x=168,x=140元,设亏损的那套服装成本价为y,则y-20%y=168,y=210元,所以商贩赔(210-168)-(168-140)=14(元).答案:赔14元9.在不考虑空气阻力的情况下,设火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg,火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系是v=2000ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的_倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.解析:2000ln(1+
7、M/m)12000,e6-1.答案:e6-110.一水池有两个进水口,一个出水口,每水口的进出水速度如图甲乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口).给出以下3个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的是_.解析:由丙图(题图)知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故正确.由丙图(题图)知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水1个出水,故错误.由丙图(题图)知4点到6点蓄水量不变,故两个进水一个出水,故错误.答案:三解答题:(本大题共3小题,1112题13分,13题14分,写出证明过程或推演
8、步骤.)11.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(元)是关于行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示.(1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式;(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克?解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.由题图可知,当x=60时,y=6;当x=80时,y=10.y与x之间的函数关系式为y=x-6(x30).(2)y=x-6(x30)中y的值为0时,x的值为最多可免费携带行李的质量,应是函数图象与x轴交点的横坐标.当y=0时,x=30.旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.12.某公
9、司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,该年A型商品定价为每件70元,年销售量为12.7万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为m%的管理费(即销售100元要征收m元),于是该商品每件的定价提高%,预计年销售量将减少m万件.(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成m的函数,并指出这个函数的定义域;(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元,则商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少?(3)第二年,商场在所收管理费不少于21万元的前提下,求使厂家获得最大销售金额时的m的值.解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(
10、12.7-m)万件,每件销售价格为: 故当m=3时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于21万元.13.某皮鞋厂,从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂不准备增加设备和工人,假如你是厂长,将会采用什么办法估算以后几个月的产量?解:作出图象如下图,图上可以得到四个点:A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).解法1:(
11、一次函数模型)设模拟函数为y=ax+b,以B,C两点的坐标代入函数式,有所以得y=0.1x+1.评析:此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1000双,这是不太可能的.解法2:(二次函数模拟)设y=ax2+bx+c,将A,B,C三点的坐标代入,有 所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.评析:由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双.而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴方程是x=3.5),这显然不符合实际情况.解法3:(幂函数模拟)如下图,设y=a+b,将A,B两点的坐标代入,有 评析:以x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大.这是因为此法只使用了两个月的数据.方法4:(指数函数模拟)如上图,设y=abx+c,将ABC三点的坐标代入,得 所以y=-0.80.5x+1.4.评析:以x=4代入得y=-0.80.54+1.4=1.35.
