1、指数函数及其性质的应用(复习课)【常考题型】题型一、利用指数函数的单调性比较大小【例1】(1)已知，函数，若实数，满足，则，的大小关系为_(2)比较下列各题中两个值的大小：，；，；，.(1)解析因为，所以函数在上是减函数由得.答案 (2)解因为，所以函数在其定义域上单调递减，又，所以.在同一平面直角坐标系中画出指数函数与的图象，如图所示当时，由图象观察可得.因为，所以指数函数与在定义域上均是减函数，且在区间上函数的图象在函数的图象的下方，所以.又根据指数函数的性质可得，所以.【类题通法】三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决(2)底数不同、指数相同：利用指数
2、函数的图象解决在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)取中间量，其中一个大于，另一个小于；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数比如，要比较与的大小，可取为中间量，与利用函数的单调性比较大小，与利用函数的图象比较大小【对点训练】比较下列各题中两个值的大小：(1)，；(2)，；(3)，.解：(1)因为，所以函数在定义域上单调递增，又，所以.(2)依据指数函数中底数对函数图象的影响，画出函数与的图象(图略)，可得.(3)因为，
3、所以指数函数与函数在定义域上是增函数，且, ，所以.题型二、解简单的指数不等式【例2】(1)已知，求实数的取值范围(2)已知，求实数的取值范围解(1)因为，所以指数函数在上是增函数由，可得，即的取值范围为(2)因为，所以指数函数在上是减函数又，所以，则，即的取值范围为【类题通法】解指数不等式应注意的问题(1)形如的不等式，借助于函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论；(2)形如的不等式，注意将转化为以为底数的指数幂的形式，再借助于函数的单调性求解【对点训练】如果(，且)，求的取值范围解：当时，解得.当时，解得.综上所述，当时，；当时，.题型三、指数函数性质的综合应用【例3】已知
4、函数，且，.(1)求，的值；(2)判断的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数在上的单调性，并求的值域解(1)，根据题意得，解得故，的值分别为,.(2)由(1)知，的定义域为，关于原点对称因为，所以为偶函数(3)设任意，且，则()()()().因为，且，所以,，所以，则，即所以在上为增函数当时，函数取得最小值，为，所以的值域为【类题通法】解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与的大小关系与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可
5、以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质【对点训练】已知函数.(1)求证：是奇函数；(2)用单调性的定义证明：在上是增函数证明：(1)的定义域是，对任意的，都有，所以是奇函数(2) (可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)设，是上的任意两个值，且，则()（）.因为，所以，,，所以，则，即，故在上是增函数【练习反馈】1若，则的取值范围是()ABC D解析：选D不等式，是增函数，即.2已知三个数，则三个数的大小关系是()A BC D解析：选D，且，所以.3不等式的解集是_解析：由得，即，解集为答案：4函数(，且)在区间上的最大值比最小值大，则的值为_解析：(1)若，则在上递增，即或(舍去)(2)若，则在上递减，即或(舍去)综上所述，所求的值为或.答案：或5设函数(为无理数，且)是上的偶函数且.(1)求的值；(2)判断在上的单调性解：(1)是上的偶函数，即.，.又，.(2)，设，且，()（）.，且，()（），即，在上为增函数
