1、高考资源网（） 您身边的高考专家9.6空间向量的坐标运算（一）【教学目的】1、 空间直角坐标的建立，空间向量的坐标表示2、 向量的直角坐标运算【复习回顾】1空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。2空间向量的运算总结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：3.共线向量（平行向量）: a平行于b,记作ab共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使a=b。a ，或 或式都叫做空间直线的向量参数方程4共面向量共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使=x+y推论：空间一点P位于平面M
2、AB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使=x+y或对空间任一点O，有=+x+y5. 空间向量基本定理 如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使=x+y+z推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使6. 两个向量的数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O,作,则叫向量与的夹角 =,称与互相垂直,记作(2)模(长度):设 有向线段的长度叫向量的长度或模,记作(3) 数量积:(4)射影:已知轴l上与l同方向的单位向量，作点在l上的射影，作点在l上的射影，则叫向量在轴l上或在方向上的正射影，简
3、称射影（）.空间向量数量积的性质: (1)(2)(3)（） 空间向量数量积的运算律【新课讲述】1. 空间直角坐标如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底。常用，j，k来表示。在空间选定一点O和一个单位正交基底，j，k，以点O为原点，分别以，j，k的正方向为建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz。点O叫原点，j，k叫坐标向量，过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、xOz平面、yOz平面。一般作空间直角坐标系O-xyz时，使xOy=135（或45），yOz=90让右手拇指指向x轴正方向，食指指
4、向y轴正方向，中指能指向z轴的正方向，则称为右手直角坐标系。这本书中都是右手直角坐标系。给定一个空间向量a，设，j，k为坐标向量，则存在唯一的实数组（a1，a2，a3）使a= a1+a2j+a3k有序数组（a1，a2，a3）叫空间向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标。记为a=（a1，a2，a3）。A(x,y,z)okaxyizj在空间直角坐标系O-xyz中。任一点A对应一个向量，存在唯一的实数组x、y、z. x+y j+z k. 单位正交基底，j，k中，与向量对应的有序数组（a1，a2，a3）叫空间直角坐标系中的坐标。记为A（x、y、z）其中x叫点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖
5、坐标2、向量的直角坐标运算设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则a+b=( a1 +b1 ，a2 +b2，a3+b3)a-b=( a1 -b1 ，a2 -b2，a3-b3)a=（a1，a2，a3）（R）ab=a1b1+a2 b2+a3b3ab a1 =b1 ，a2=b2，a3=b3（R）ab a1 b1+ a2b2 +a3+b3=0设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则（b1，b2，b3）-（a1，a2，a3）=(b1- a1 ， b2-a2， b3-a3)。即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。例1、 已知a=（2，-
6、3，5），b=（-3，1，-4）求a+b, a-b ,8 a ,ab.解：a+b=(-1,-2,1) , a-b =(5,-4,9), 8 a =(16,-24,40), ab= -29.例2、 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1，E,F分别是BB1、CD的中点，求证D1F平面ADE证明：设正方体的棱长为1，设以，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系D-xyz，则ABDzyxEA1B1C1D1FC ADAE=A练习：p39 xyoz, ,ABzcxyED例4、（2000高考，上海）在四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos,求四面体ABCD的体积.解：建立坐标系如图，有又z0，【课堂小结】1. 空间直角坐标的建立，空间向量的坐标表示2. 向量的直角坐标运算3. 对具体问题，先建立空间直角坐标系，再写坐标证明【布置作业】P42 1，2，3，4，5，6- 4 - 版权所有高考资源网
