1、2014-2015学年安徽省安庆市宿松县复兴中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10题，每小题5分，共50分）1若复数z满足，则z对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2已知函数f（x）=sinx+lnx，则f（1）的值为（）A 1cos1B 1+cos1C cos11D 1cos135位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A 10种B 20种C 25种D 32种4某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本
2、中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A 9B 18C 27D 365已知a0，b0，则的最小值是（）A 2B C 4D 56用数学归纳法证明“l+2+22+2n+2=2n+31，nN*”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为（）A 1B l+2C l+2+22D 1+2+22+237由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A B C D 8数列2，5，11，20，x，47，中的x值为（）A 28B 32C 33D 279已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A 10B 9C 8D 710位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或
3、向右，并且向上、向右移动的概率都是质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）A B C D 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11已知（x+a）7的展开式中，x4的系数是280，则a=12已知N（0，2），且P（20）=0.4，则P（2）=13某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为14函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是15甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红
4、球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关三、解答题（共6大题，第16、17、18、19题每题12分，20题13分，21题14分）16复数z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，若+z2是实数，求实数a的值17已知的展开式中第5项系数与第三项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项系数和；（2）求展开式中含的项；（3）求展开式中系数最大的项18为拉动经济增长，某市决定新建一批重点
5、工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设（1）求他们选择的项目所属类别互不相同概率（2）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列19袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）现从袋中任取一球表示所取球的标号（）求的分布列，期望和方差；（）若=a+b，E=1，D=11，试求a，b的值20已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，记f（x）的导数为f（x）（1）若曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）
6、有极值，求函数f（x）的解析式；（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在4，1上的最大值和最小值21在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想2014-2015学年安徽省安庆市宿松县复兴中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每小题5分，共50分）1若复数z满足，则z对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：根据所给的关于复数的等式，整理出要求的z的表示式，进行复数的
7、乘法运算，得到复数的最简结果，根据横标和纵标的值写出对应的点的坐标，得到点的位置解答：解：复数z满足，z=2i（1+i）=2+2i，z对应的点的坐标是（2，2）复数在复平面上对应的点在第二象限，故选B点评：本题考查复数的基本概念，考查复数的代数形式的乘法运算，这种题目一般出现在试卷的前几个题目中，是一个必得分题目，注意数字的符号不要出错2已知函数f（x）=sinx+lnx，则f（1）的值为（）A 1cos1B 1+cos1C cos11D 1cos1考点：导数的加法与减法法则分析：求函数在某点处的导数值，先求导函数解答：解：因为f（x）=cosx+，则f（1）=cos1+1故选B点评：本题主要
8、考查导数加、减法的运算法则35位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A 10种B 20种C 25种D 32种考点：分步乘法计数原理分析：每位同学参加课外活动小组的方法数都是2种，5名同学，用分步计数原理求解解答：解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种故选D点评：本题要和5名同学争夺2个项目的冠军，冠军不并列的方法数加以区别4某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，
9、则该样本中的老年职工人数为（）A 9B 18C 27D 36考点：分层抽样方法专题：计算题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果解答：解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，x+2x+160=430，x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，在抽取的样本中有青年职工32人，每个个体被抽到的概率是=，用分层抽样的比例应抽取90=18人故选B点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽
10、样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过5已知a0，b0，则的最小值是（）A 2B C 4D 5考点：基本不等式分析：a0，b0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式解答：解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号故选C点评：基本不等式a+b，（当且仅当a=b时取“=”）的必须具备得使用条件：一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值）三等（当且仅当a=b时，才能取等号）6用数学归纳法证明“l+2+22+2n+2=2n+31，nN*”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为（）A 1B l
11、+2C l+2+22D 1+2+22+23考点：数学归纳法专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：分析已知条件，直接推出结果即可解答：解：“l+2+22+2n+2=2n+31，nN*，表达式的左侧是从1开始加到2n+2结束，所以在验证n=1时，左边计算所得的式子为：1+2+22+23故选：D点评：本题考查数学归纳法的应用，基本知识的考查7由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A B C D 考点：定积分在求面积中的应用专题：函数的性质及应用分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求01（x2x3）dx即可解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，
12、1），（0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为01（x2x3）dx，故选A点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积8数列2，5，11，20，x，47，中的x值为（）A 28B 32C 33D 27考点：数列的概念及简单表示法专题：计算题分析：根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解解答：解：由题意知，数列2，5，11，20，x，47，52=3，115=6，2011=9，则x20=12，解得x=32，故选B点评：本题考查了数列的概念的应用，即需要找出数列各项之间的特定关系，考查了分析问题和解决问题的能力9已知在
13、的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A 10B 9C 8D 7考点：二项式定理专题：二项式定理分析：利用二项展开式的通项公式，以及第6项为常数项，求得n的值解答：解：在的展开式中，第6项为 为常数项，则n=10，故选：A点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题10位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）A B C D 考点：等可能事件专题：压轴题分析：从条件知质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，本题考查的是独
14、立重复试验，因此质点P移动5次后位于点（2，3）质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次解答：解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为故选B点评：独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结果的概率不受其他次结果的概率影响，每次试验都有两个结果，成功和失败二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11已知（x+a）7的展开式中，x4的系数是280，则a=2考点：二项式定理专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得x4的系数，再根据x4的系数等于280，求得实数a的值解答：解：（x+a）7的展开式的通
15、项公式为 Tr+1=arx7r，令7r=4，求得 r=3，可得x4的系数是a3=280，则a=2，故答案为：2点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题12已知N（0，2），且P（20）=0.4，则P（2）=0.1考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：概率与统计分析：由正态分布的关于x=0对称的性质先求出P（20）=0.4，再由对称性求出P（22）=0.8，即可解出结果解答：解：由题意知变量符合一个正态分布，随机变量N（0，2）且P（20）=0.4，P（20）=0.4，P（22）=0.8P（2）=（10.8）=0.1故答案为：0.1点评：本题考查正态分布曲线
16、的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是理解并掌握正态分布的关于x=对称的特征与概率的关系，由此解出答案，本题是一个基础题13某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为考点：互斥事件的概率加法公式分析：在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率解答：解：设罚球的命中的概率为P，由两次罚球中至多命中一次的概率为，得，故答案为：点评：对立事件公式的应用经常在概率计算中出现，从正面做包含的事件较多，可以从反面来解决，注意区分互斥事件和对立事件之间的关系14函数f（x）=x
17、3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是a|a1或a2考点：函数在某点取得极值的条件专题：导数的综合应用分析：由已知得f（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知=36a236（a+2）0，由此能求出a的取值范围解答：解：f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1，f（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知=36a236（a+2）0，解得a1或a2故答案为：a|a1或a2点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用15甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白
18、球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关考点：互斥事件的概率加法公式专题：压轴题分析：本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键本题在A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P（B）=P（B|A1）+P（BA2）+P（BA3），可知事件B的概率是确定的解
19、答：解：易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，故答案为：点评：概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握三、解答题（共6大题，第16、17、18、19题每题12分，20题13分，21题14分）16复数z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，若+z2是实数，求实数a的值考点：复数的基本概念专题：计算题分析：可求得+z2=+（a2+2a15）i，利用其虚部为0即可求得实数a的值解答：解：z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，+z2是=+（a210）i+（2a5）i=（+）+（a210+2a5）i=+（a2+2a15）i，+z2是实数，a2+2a15=0，解得a=5或a=3又
20、分母a+50，a5，故a=3点评：本题考查复数的基本概念，考查转化思想与方程思想，属于中档题17已知的展开式中第5项系数与第三项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项系数和；（2）求展开式中含的项；（3）求展开式中系数最大的项考点：二项式定理专题：二项式定理分析：（1）由条件利用二项展开式的通项公式，求得n的值，在二项式中，令x=1得各项系数和（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求出r的值，即可求得展开式中含的项（3）若第k+1项系数绝对值最大，则由，求得k的范围，可得展开式中系数最大的项解答：解：（1）由题意知：第五项系数为，第三项系数为，则由题意可得，解得：n=8，或（n
21、=3）舍去在二项式中，令x=1得各项系数和为（12）8=1（2）二项式的通项公式为 =，令，展开式中含的项为（3）设展开式中第k项，第k+1项，第k+2项系数绝对值为，若第k+1项系数绝对值最大，则由，求得5k6，又T6系数为负，系数最大项为点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题18为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设（1）求他们选择的项目所属类别互不相同概率（2）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程
22、的人数，求的分布列考点：离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）根据题意，首先设第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3，且各个事件相互独立，又由P（Ai）=，P（Bi）=，P（Ci）=，由相互独立事件的概率乘法公式得答案（2）根据为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，得到变量的可能取值，分析出变量符合二项分布，得到变量的概率，即可写出分布列解答：解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3，由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B
23、3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck（i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互独立，且P（Ai）=，P（Bi）=，P（Ci）=（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率：P=32P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6=（2）设3名工人中选择项目属于民生工程的人数为，由已知：（3，），且=3P（=0）=P（=3）=；P（=1）=P（=2）=；P（=2）=P（=1）=；P（=3）=P（=0）=的分布列是：0123P点评：本题考查离散型随机变量的分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查二项分布，是一个概率的综合题目，属中档题19袋中有20个大小相同的球
24、，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）现从袋中任取一球表示所取球的标号（）求的分布列，期望和方差；（）若=a+b，E=1，D=11，试求a，b的值考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：常规题型；计算题分析：（1）的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（=k）=，可出分布列，再由期望、方差的定义求期望和方差；（2）若=a+b，由期望和方差的性质E=aE+b，D=a2D，解方程组可求出a和b解答：解：（）的所有可能取值为0，1，2，3，4分布列为： 01234P（）由D=a2D，得a22.75=11，即a=2又E=aE+b，所以当a=2时，由1=
25、21.5+b，得b=2；当a=2时，由1=21.5+b，得b=4或即为所求点评：本题考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力20已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，记f（x）的导数为f（x）（1）若曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在4，1上的最大值和最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求导函数，利用曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，建立两个
26、方程，即可求函数f（x）的解析式；（2）确定函数的极值点，利用函数的最值在极值点处及端点处取得，即可得到结论解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5，求导数得f（x）=3x2+2ax+b，在函数f（x）图象上一点P（1，f（1）处切线的斜率为3，f（1）=3，即3+2a+b=3，化简得2a+b=0；y=f（x）在x=时有极值，f（）=0，即4a+3b+4=0 由联立解得a=2，b=4，f（x）=x3+2x24x+5；（2）由（1）知f（x）=3x2+4x4=（x+2）（3x2）函数在x=2及x=时有极值f（4）=11，f（2）=13，f（）=，f（1）=4函数f（x）在4，1上的最大
27、值为13，最小值为11点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，考查学生的计算能力，属于中档题21在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想考点：归纳推理；数学归纳法专题：计算题分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3（2）由（1）猜想数列an的通项公式：，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立解答：解：（1）易求得（3分）；（2）猜想（5分）证明：当n=1时，命题成立 假设n=k时，成立，（8分）则n=k+1时，=，所以，即n=k+1时，命题成立由知，nN*时，（12分）点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式
