1、第二章学业质量标准检测时间120分钟,满分150分。一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2017浙江,2)椭圆1的离心率是(B)A B CD解析椭圆方程为1,a3,c.e.故选B2抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是(D)A2B2CD1解析由y28x可得其焦点坐标(2,0),根据点到直线的距离公式可得d1.3已知椭圆1(a5)的两个焦点为F1、F2,且|F1F2|8,弦AB经过焦点F1,则ABF2的周长为(D)A10B20C2D4解析由椭圆定义可知,有|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,ABF2的周长l|AB
2、|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|2a2a4a.由题意可知b225,2c8,c216,a2251641,a,l4,故选D4设双曲线1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(C)AyxBy2xCyxDyx解析2b2,2c2,b1,c,a2c2b2312,a,故渐近线方程为yx.5已知方程(m3)x2(5m)y2(m3)(5m),其中mR,对m的不同取值,该方程不可能表示的曲线是(D)A直线B圆C双曲线D抛物线解析由题意,mR,对m的不同取值,该方程不可能出现一次项,故方程不表示抛物线故选D6(2020泰安二模)设双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,
3、F2,P是双曲线上一点,点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半,且|PF1|PF2|4a,则双曲线的离心率是(D)ABCD解析由题意得,PF1PF2,因此|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,|F1F2|2,(2c)2,e2,e,故选D7(2020天津卷,7)设双曲线C的方程为1(a0,b0),过抛物线y24x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为(D)A1Bx21Cy21Dx2y21解析由题知y24x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x1,而1的渐近线方程为0和0,由l与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直
4、,得a1,b1,故选D8(2019全国卷理,11)设F为双曲线C:1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P,Q两点若|PQ|OF|,则C的离心率为(A)ABC2D解析设双曲线C:1(a0,b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知,PQ是以OF为直径的圆的直径,且PQOF.设垂足为M,连接OP,如图,则|OP|a,|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2,故,即e.故选A二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对
5、的得3分) 9.(多选题)若方程1表示椭圆,则以下关于k的说法正确的是(BC)A当k(3,4)时,方程表示焦点在x轴上的椭圆B当k(3,4)时,方程表示焦点在y轴上的椭圆C当k(4,5)时,方程表示焦点在x轴上的椭圆D当k(4,5)时,方程表示焦点在y轴上的椭圆解析依题意,得解得3k5且k4.所以k的取值范围是(3,4)(4,5)且当k(3,4)时,k35k,焦点在x轴上,故选BC 10.(多选题)已知方程mx2ny2mn和mxnyp0(其中mn0且m,nR,p0),它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是(AC)解析由题:mn0且m,nR,p0,方程mx2ny2mn,即1,mxnyp0即y
6、x,斜率,y轴上的截距,A选项,根据椭圆的焦点在x轴上,则nm0,直线斜率10,y轴上的截距n0,直线斜率0不可能,所以B选项不可能;C选项,根据双曲线焦点在x轴上,则n0,m0,y轴上的截距0,n0,与图中不一致,所以该选项不可能故选AC 11.(多选题)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在第一象限),则下列结论中正确的是(AC)Ax1x2BC若直线l的倾斜角为,则3D若直线的倾斜角为,则|AB|4p解析抛物线y22px(p0)的焦点为F,准线为x,当斜率不存在时,则过焦点的直线的方程为x,则A,B,此时x1x2,故B错
7、误;当斜率存在时,设过焦点的直线方程为yk,联立直线与抛物线方程得消元得k2x2(k2p2p)x0.由韦达定理可得x1x2,x1x2,故A正确;若直线的倾斜角为,则k,x1x27p,|AB|x1x2p8p,故D错误;如图,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作BEAM,垂足为E,设|AF|m,|BF|n,则由抛物线的定义得|AM|AF|m,|BN|BF|n,|AB|mn,|AE|mn,若直线l的倾斜角为,则ABE,于是,解得m3n,则3,故C正确;综上,正确的有AC 12.(多选题)如图,两个椭圆1,1,内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,下列四个判断中正确命题为(B
8、C)AP到F1(4,0),F2(4,0),E1(0,4),E2(0,4)四点的距离之和为定值B曲线C关于直线yx,yx均对称C曲线C所围区域面积必小于36D曲线C总长度不大于6解析考虑点P不是交点的情况,若点P在椭圆1上,P到F1(4,0),F2(4,0)两点的距离之和为定值,到E1(0,4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值,故A错;两个椭圆关于直线yx,yx均对称,曲线C关于直线yx,yx均对称,故B正确;曲线C所围区域在边长为6的正方形内部,所以面积必小于36,故C正确;半径为3的圆在曲线C所围区域的内部,所以曲线的总长度大于圆的周长6,故D错误三、填空题(本大题共4个小题,每小题5
9、分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点,则p_2_.解析由题意可知,抛物线的准线方程为x,因为p0,所以该准线过双曲线的左焦点,由双曲线的方程可知,左焦点坐标为(,0);故由可解得p2.14已知双曲线E:1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|3|BC|,则E的离心率是_2_.解析如图,由题意不妨设|AB|3,则|BC|2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在RtBMN中,|MN|2c2,故|BN|.由双曲线的定义可得2a|BN|BM|1,而2c|MN|2,所以双曲线的离心
10、率e2.15椭圆1的左右焦点分别是F1,F2,椭圆上有一点P,F1PF230,则三角形F1PF2的面积为_189_.解析椭圆1,a4,b3,c.又P为椭圆上一点,F1PF230,F1、F2为左右焦点,|F1P|PF2|2a8,|F1F2|2,|F1F2|2(|PF1|PF2|)22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos3064(2)|F1P|PF2|28,|F1P|PF2|.SPF1F2|F1P|PF2|sin30189.故答案为189.16(2020山东潍坊高二期末)给出下列四个命题:已知P为椭圆y21上任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|PF2|的范围是3,4;已知M是
11、双曲线1上任意一点,F2是双曲线的右焦点,则|MF2|1;已知直线l过抛物线C:x22py(p0)的焦点F,且l与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1x24y1y20;椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点F1,F2是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,若静放在点F1的小球(小球的半径忽略不计)从点F1沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点F1时,小球经过的路程恰好是4a.其中正确命题的序号为_(请将所有正确命题的序号都填上)解析椭圆y21的a2,b1,c,e,设P的横坐标为m,由焦半径
12、公式可得,则|PF1|PF2|(2m)(2m)4m2,由2m2,可得所求范围是1,4,故错误;已知M是双曲线上任一点,若M在双曲线左支上,可得|MF2|5;若M在双曲线右支上,可得|MF2|1,故正确;已知直线l过抛物线C:x22py(p0)的焦点F,设直线l的方程为ykx,代入抛物线的方程可得x22pkxp20,且l与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,可得x1x2p2,y1y2,则x1x24y1y20,故正确;对于,假设长轴在x轴,短轴在y轴,设A为左焦点,B是它的右焦点,以下分为三种情况:(1)球从A沿x轴向左直线运动,碰到左顶点必然原路反弹,这时第一次回到A路程是2(ac);
13、(2)球从A沿x轴向右直线运动,碰到右顶点必然原路反弹,这时第一次回到A路程是2(ac);(3)球从A不沿x轴斜向上(或向下)运动,碰到椭圆上的点C,反弹后经过椭圆的另一个焦点B,再弹到椭圆上一点D,经D反弹后经过点A,此时小球经过的路程是4a.综上所述,从点A沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A时,小球经过的路程是4a或2(ac)或2(ac)故错误故答案为.四、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2020安徽省安庆市高二调研)求焦点在直线xy20上的抛物线的标准方程解析因为是标准方程,所以其焦点应该在坐标轴上,所以其焦点坐
14、标即为直线xy20与坐标轴的交点,所以其焦点坐标为(2,0)和(0,2)当焦点为(2,0)时,可知其方程中的p4,所以其方程为y28x,当焦点为(0,2)时,可知其方程中的p4,所以其方程为x28y,故所求方程为y28x或x28y.18(本小题满分12分)(20192020学年房山区期末检测)在平面直角坐标系xOy中,点F1,F2分别是椭圆E:1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),且|BF2|,点C是椭圆E上一点,直线CF2交椭圆于点A.(1)求椭圆E的方程;(2)求ABC的面积解析(1)因为顶点B的坐标为(0,b),|BF2|,所以|BF2|a,因为点C在椭圆上,所以1,解得b
15、21,故所求椭圆的方程为y21.(2)因为点C的坐标为,点F2的坐标为(1,0),所以直线CF2的斜率k1,所以直线CF2的方程为yx1,由得,3x24x0,所以或,所以点A的坐标为(0,1),所以|AB|2,所以SABC2.19(本小题满分12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7:3,求椭圆和双曲线的方程解析焦点在x轴上,设椭圆方程为1(ab0),且c.设双曲线为1(m0,n0),ma4.因为,所以,解得a7,m3.因为椭圆和双曲线的半焦距为,所以b236,n24.所以椭圆方程为1
16、,双曲线方程为1.焦点在y轴上,椭圆方程为1,双曲线方程为1.20(本小题满分12分)(2020全国卷,19)已知椭圆C1:1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点若|MF|5,求C1与C2的标准方程解析(1)由已知可设C2的方程为y24cx,其中c.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,;C,D的纵坐标分别为2c,2c,故|AB|,|CD|4c.由|CD|AB|得4c,即3222.解得2(舍去),.所以C1的离心率
17、为.(2)由(1)知a2c,bc,故C1:1.设M(x0,y0),则1,y4cx0,故1.由于C2的准线为xc,所以|MF|x0c,而|MF|5,故x05c,代入得1,即c22c30,解得c1(舍去),c3.所以C1的标准方程为1,C2的标准方程为y212x.21(本小题满分12分)(2019北京文,19)已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1)(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2,求证:直线l经过定点解析(1)由题意,得b21,c1,所以a2b
18、2c22.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为yx1.令y0,得点M的横坐标xM.又y1kx1t,从而|OM|xM|.同理,|ON|.由得(12k2)x24ktx2t220,则x1x2,x1x2.所以|OM|ON|2.又|OM|ON|2,所以22.解得t0,所以直线l经过定点(0,0)22(本小题满分12分)(2018全国卷理,19)设抛物线C:y24x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得k2x2(2k24)xk20.16k2160,故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8,解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y2(x3),即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.