1、课后限时集训(十八)导数的概念及运算建议用时：40分钟一、选择题1下列求导运算正确的是()A1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin xBx1；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，故选项B正确2已知f (x)是函数f (x)的导数，f (x)f (1)2xx2，则f (2)()A BC D2C因为f (x)f (1)2xln 22x，所以f (1)f (1)2ln 22，解得f (1)，所以f (x)2xln 22x，所以f (2)22ln 222.3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后
2、的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A1秒末 B1秒末和2秒末C4秒末 D2秒末和4秒末Ds(t)t26t8，由导数的定义可知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D4若曲线f (x)acos x与曲线g(x)x2bx1在x0处有公切线，则ab()A1 B0 C1 D2C由题意得f (x)asin x，g(x)2xb，于是有f (0)g(0)，即asin 020b，b0.又f (0)g(0)，即a1，ab1.5已知直线yax是曲线yln x的切线，则实数a()A B C DC设切点坐标为(x0，ln x0)，由yln x的导函数为y知切线方程为yl
3、n x0(xx0)，即yln x01.由题意可知解得a.故选C6(2020合肥模拟)已知函数f (x)xln x，若直线l过点(0，e)，且与曲线yf (x)相切，则直线l的斜率为()A2 B2 Ce DeB函数f (x)xln x的导数为f (x)ln x1，设切点为(m，n)，可得切线的斜率k1ln m，则1ln m，解得me，故k1ln e2.二、填空题7已知f (x)ax4bcos x7x2.若f (2 020)6，则f (2 020)_.8因为f (x)4ax3bsin x7，所以f (x)4a(x)3bsin(x)74ax3bsin x7.所以f (x)f (x)14.又f (2
4、020)6，所以f (2 020)1468.8(2020全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_y2x设切点坐标为(x0，ln x0x01)由题意得y1，则该切线的斜率k12，解得x01，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y22(x1)，即y2x.9设函数f (x)x3ax2，若曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为_(1，1)或(1,1)由题意知，f (x)3x22ax，所以曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线斜率为f (x0)3x2ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且解得或所以当时，点P的坐标为
5、(1，1)；当时，点P的坐标为(1,1)三、解答题10已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解(1)yx24x3(x2)21，当x2时，ymin1，此时y，斜率最小时的切点为，斜率k1，切线方程为3x3y110.(2)由(1)得k1，tan 1，又0，)，.故的取值范围为.11已知函数f (x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f (x)3x22(1a)xa(
6、a2)(1)由题意，得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf (x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f (x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.1已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与抛物线yax2(a2)x1相切，则a的值为()A0 B0或8 C8 D1C对yxln x求导，得y1，y|x12，即切线的斜率为2，切线方程为y12(x1)，即y2x1.因为该切线与抛物线相切，所以ax2(a2)x12x1有唯一解即ax2ax20有唯一解则解得a8，故选C2若曲线f (x)ax3ln
7、 x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_(，0)由题意知，f (x)的定义域(0，)，f (x)3ax2，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax20，即a(x0)，故a(，0)3已知函数f (x)x3x16.(1)求曲线yf (x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线yf (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)若曲线yf (x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解(1)因为f (x)3x21，所以f (x)在点(2，6)处的切线的斜率kf (2)13.所以所求的切线方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f (x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又因为直线l过点(0,0)，所以0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，直线l的斜率k3(2)2113.所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f (x0)3x14，所以x01.所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，所以切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18，即y4x18或y4x14.
