1、1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点处且过极点的圆学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程(重点)1曲线C的直角坐标方程在给定的平面直角坐标系下，如果二元方程F(x，y)0满足下面两个条件，则称它为曲线C的方程：(1)曲线C上任一点的坐标(x，y)都满足方程；(2)所有适合方程的(x，y)所对应的点都在曲线C上2曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0.如果曲线C是由极
2、坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(，)0为曲线C的极坐标方程3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos ()圆心为(r，)，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线或过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a()思考：曲线的极坐标方程是否唯一？提示由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一1极坐标方程(R)表示()A点 B线段C圆D直线解析当0时，方程表示极角为的射线，当0时，方程表示上述射线的反向延长线R，表示直线答案D2极坐标方程(1)(
3、)0(0)表示的图形是()A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线解析由题设，得1，或，1表示圆，(0)表示一条射线答案C3直线和圆2cos 的位置关系为()A相离B相切C相交D无法确定解析由2cos 知表示曲线圆心为(1,0)，半径为1的圆又过极点且与极轴垂直直线与圆相切答案B4已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos (0,0)，则曲线C1与C2交点的极坐标为_解析由cos 3，4cos ，得4cos2 3.又00.cos ，故2.两曲线交点的极坐标为(2，)答案(2，)圆的极坐标方程【例1】求圆心在C(2，)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(2，si
4、n)是否在这个圆上思路探究解答本题先设圆上任意一点M(，)，建立等式转化为，的方程，化简可得，并检验特殊点解如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连接AM，则OMMA.在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos()，4sin ，经验证，点O(0,0)，A(4，)的坐标满足上式满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin，4sin 4sin2，点(2，sin)在此圆上1求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：建立适当的极坐标系(本题无需作)；在曲线上任取一点M(，)；根据曲线上的点所满足的条件写出等式；用极坐标，表示
5、上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；证明所得的方程是曲线的极坐标方程(一般只要对特殊点加以检验即可)2求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示1在极坐标系中，分别求方程(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；(2)圆心为C(2，)，半径为2的圆的极坐标方程解(1)设M(，)为所求圆上任意一点结合图形，得|OM|2.2.02.(2)设所求圆上任意一点M(，)，结合图形在RtOAM中，OMA90.AOM，|OA|4.cosAOM，OMOAcosAOM.即4cos()，故4cos 为所求直线或射线的极坐标方程【例2】求过点A(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程思
6、路探究画出草图设点M(，)是直线上的任意一点建立关于，的方程检验解法一设M(，)为直线上除点A以外的任意一点则xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，故sin()，即(sincos cossin )，化简得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1，其中，0(0)和2(0)法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.直线的斜率ktan1，过点A(1,0)的直线方程为yx1.将ysin ，xcos 代入上式，得sin cos 1，(cos sin )1，其中，0(0)和2(0)法一通过
7、运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以，为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程2若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？解由题意，设M(，)为射线上任意一点，根据例题可知，sin()，化简得(cos sin )1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为(cos sin )1(其中0,0)极坐标方程与直角坐标方程的互化【例3】在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点的
8、极坐标为_思路探究着眼点解曲线2sin 化为：x2y22y，即x2(y1)21，又cos 1化为x1.联立得交点(1,1)交点的极坐标为(，)答案(，)1(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)；(2)对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用2本题也可消去，由二倍角公式求，进而求出极径.3如果将例题中的曲线方程改为“曲线(cos sin )1与(sin cos )1”，试求曲线交点的极坐标解曲线(cos sin )1化为直角坐标方程xy1，曲线(sin cos )1化为直角坐标方程yx1.两直线xy1与yx1的
9、交点为(0,1)，交点的极坐标为(1，).极坐标方程的应用【例4】从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值思路探究建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化，根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值解(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)，则012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程(2)将3cos 化为直角坐标方程，得x2y23x，即(x)2y2()2，知P的轨迹是以(，0)为圆心，半径为的圆直线l的直线坐标方程是x4.结合图形易得|R
10、P|的最小值为1.1用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同2解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些4.(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，
11、M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.(教材P16练习T2)把圆的极坐标方程sin 化为直角坐标方程，并说明圆心和半径在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.
