1、第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)必备知识探新知基础知识知识点1 正弦、余弦函数的最值正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的！ 定义域 #都是实数集R，！ 值域 #都是1,1对于正弦函数ysinx，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.对于余弦函数ycosx，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？提示：(1)正弦、余弦函数的定
2、义域为R，值域为1,1(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方知识点2 正弦、余弦函数的单调性(1)正弦函数ysinx的增区间为2k，2k(kZ)；减区间为2k，2k(kZ)(2)余弦函数ycosx的增区间为2k，2k(kZ)；减区间为2k，2k(kZ)思考2：(1)正弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？(2)余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：(1)观察图象可知：当x，时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由1增大到1；当x，时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k(kZ)时，正
3、弦函数ysinx是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，2k(kZ)时，正弦函数ysinx是减函数，函数值由1减小到1.(2)观察图象可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycosx是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kZ时，余弦函数ycosx是减函数，函数值由1减小到1.基础自测1在下列区间中，使函数ysinx为增函数的是(C)A0，B，C，D，22下列函数中在上是增函数的是(D)AysinxBycosxCysin2xDycos2x解
4、析ysinx在上是减函数，不满足条件ycosx在上是减函数，不满足条件ysin2x的周期是，在上不单调，不满足条件ycos2x的周期是，在上是增函数，满足条件故选D.3函数y3sin的一个单调递减区间为(B)ABCD解析y3sin3sin，检验各选项可知，只有B项所给区间是单调递减区间，故选B.4函数y2sinx取得最大值时x的值为！2k(kZ)#.解析y2sinx，当sinx1时，ymax3，此时x2k(kZ)5函数ysinx(x)的值域为！，1#.关键能力攻重难题型探究题型一三角函数的单调区间例1 求下列函数的单调递减区间：(1)ycos(2x)；(2)y3sin(3x)分析(1)可采用整
5、体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间解析(1)令z2x，而函数ycosz的单调递减区间是2k，2k(kZ)当原函数单调递减时，可得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)原函数的单调递减区间是k，k(kZ)(2)y3sin(3x)3sin(3x)令z3x，则y3sinz，由y3sinz的单调递减区间，即为ysinz的单调递增区间2kz2k，kZ.即2k3x2k，kZ.解得x，kZ.所以原函数的单调减区间为，kZ.归纳提升单调区间的求法求形如yAsin(x)或yAcos(x)的函数的单调区间，要先把化为正数，(1)当A0时，把x整体代入
6、ysinx或ycosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间(2)当A0时，把x整体代入ysinx或ycosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入ysinx或ycosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间提醒：求函数yAsin(x)的单调区间时，把x看作一个整体，借助ysinx的单调区间来解决当A0或0时，要注意原函数的单调性与ysinx的单调性的关系【对点练习】 求下列函数的单调区间：(1)函数ysin(x)的单调增区间；(2)函数y3sin(2x)的单调减区间解析(1)函数ysinx在2k，2k(kZ)上是增函数，函数ysin(x)为增函数，当
7、且仅当2kx2k时，即2kx2k(kZ)函数ysin(x)的单调增区间为：2k，2k(kZ)(2)令u2x，则u是x的减函数ysinu在2k，2k(kZ)上为增函数，由2k2x2k，即kxk(kZ)原函数y3sin(2x)的单调减区间为：k，k(kZ)题型二三角函数单调性的应用例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)cos，cos.(2)cos1，sin1.(3)sin164与cos110.解析(1)coscos，coscos，因为0cos，即coscos.(2)因为cos1sin(1)，而011且ysinx在0，上单调递增，所以sin(1)sin1，即cos10，sin200，所
8、以sin20sin16，即cos11sin164.归纳提升三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到，或，内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内(2)不同名的函数化为同名的函数(3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小【对点练习】 (1)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(B)AsinsinBcossinCcoscos(2)将cos150，sin470，cos760按从小到大排列为！ cos150cos760sin470 #.解析(1)由题意可知0，0，所以，且0sin()，即si
9、ncos.故选B.(2)cos1500，cos760cos400，且cos20cos40，所以cos150cos7600)当x0，时，f(x)的最大值为，最小值是2，求a和b的值分析可先由x的范围，求出2x的范围，再将2x看作整体求出sin(2x)的范围解析因为0x，所以2x，所以sin(2x)1，因为a0，所以f(x)maxab，f(x)minab2.由得归纳提升求ysin(x)型三角函数的值域的方法令tx，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出ysint的最值(值域)【对点练习】 求ycos(x)，x0，的值域解析由ycos(x)，x0，可得x，因为函数
10、ycosx在区间，上单调递减，所以函数的值域为，误区警示忽略函数的定义域而致错例4已知定义在0，上的函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，求f(x)在0，上的单调递增区间错解函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，cos()1，2k，kZ.又0，故f(x)cos(x)令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.f(x)的单调递增区间是2k，2k，kZ.错因分析造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间正解函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，cos()1，2k，kZ.又0，故f(x)cos(x)令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.又x0，f(x)在0
11、，上的单调递增区间是，方法点拨解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题学科素养与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题1求形如yasinxb的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(1sinx1)求解2对于形如yAsin(x)k(A，0)的函数，当定义域为R时，值域为|A|k，|A|k；当定义域为某个给定的区间时，需确定x的范围，结合函数的单调性确定值域3求形如yasin2xbsinxc，a0，xR的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性4求形如y，
12、ac0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.例5(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：y2sinx1；ysin2xsinx.(2)求下列函数的值域：y2sin(2x)，x，；y.分析(1)先确定sinx的最值再求y的最值；换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值(2)利用ysinx的图象求解；利用分离常数法或|sinx|1求解解析(1)由1sinx1知，当x2k，kZ时，函数y2sinx1取得最大值，ymax1；当x2k，kZ时，函数y2sinx1取得最小值，ymin3.ysin2xsinx
13、(sinx)2，因为1sinx1，所以当sinx，即x2k或x2k(kZ)时，函数取得最大值，ymax；当sinx1，即x2k(kZ)时，函数取得最小值，ymin.(2)x，2x，2x，由ysint的图象(如图所示)可得sin(2x)，1，则2sin(2x)1,2，即y2sin(2x)，x，的值域为1,2方法一：y1.当sinx1时，ymax，由题易得该函数的值域为(，方法二：由y，得(sinx1)ysinx2，即(1y)sinxy2，显然y1，sinx.1sinx1，11，解得y，即值域为(，课堂检测固双基1函数y2sinx(0x)的值域是(C)A2,2B1,1C0,1D0,22下列关系式中
14、正确的是(C)Asin11cos10sin168Bsin168sin11cos10Csin11sin168cos10Dsin168cos10sin12sin11，即cos10sin168sin11.3函数ysin2x的单调减区间是(B)A(kZ)B.(kZ)C(kZ)D.(kZ)解析由2k2x2k，kZ得kxk，ysin2x的单调减区间是k，k(kZ)4函数ycos(x)，x0，的值域是！，#.解析0x，x，cos(x)，所以函数的值域为，5函数ycos2x4cosx5的值域为！ 2,10 #.解析令tcosx，由于xR，故1t1.yt24t5(t2)21，当t1时，即cosx1时函数有最大值10；当t1，即cosx1时函数有最小值2.所以该函数的值域是2,10
