1、第 2 讲 三角变换与解三角形1(2015课标全国)sin 20cos 10cos 160sin 10等于()A 32B.32C12D.122(2014福建)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_3(2015重庆)在ABC 中，B120，AB 2，A 的角平分线 AD 3，则 AC_.4(2014江苏)若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命
2、题将是今后高考的一个关注点，不可轻视热点一 三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦例 1(1)已知 sin(3)sin 4 35，20)的最小正周期为23.(1)求 的值；(2)在ABC 中，sin B，sin A，sin C 成等比数列，求此时 f(A)的值域 提醒：完成作业 专题三 第
3、 2 讲二轮专题强化练专题三第 2 讲 三角变换与解三角形A 组 专题通关1已知(2，)，sin(4)35，则 cos 等于()A 210B.7 210C 210或7 210D7 2102已知函数 f(x)4sin(x36)，f(3)165，f(352)2013，其中，0，2，则 cos()的值为()A.1365B.1565C.4865D.63653设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定4(2015广东)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，
4、c2 3，cos A 32且 bc，则 b 等于()A3B2 2C2D.35已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 tan B2 3a2b2c2，BCBA12，则tan B 等于()A.32B.31C2D2 36(2015兰州第一中学期中)已知 tan 4，则1cos 24sin2sin 2的值为_7(2015天津)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为3 15，bc2，cos A14，则 a 的值为_8.如图，在一个塔底的水平面上的点 A 处测得该塔顶 P 的仰角为，由点A 向塔底 D 沿直线行走了 30 m 到达点 B，测得塔
5、顶 P 的仰角为 2，再向塔底 D 前进 10 3 m 到达点 C，又测得塔顶的仰角为 4，则塔 PD 的高度为_m.9(2015安徽皖南八校联考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 B3，且(abc)(abc)37bc.(1)求 cos C 的值；(2)若 a5，求ABC 的面积10已知 f(x)2sin(x 12)3，现将 f(x)的图象向左平移4个单位长度，再向上平移 3个单位长度，得到函数 g(x)的图象(1)求 f(4)g(6)的值；(2)若 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，ac4，且当 xB 时，g(x)取得最大值，求 b 的取值范
6、围B 组 能力提高11(2015成都新都一中月考)若(0，2)，则sin 2sin24cos2的最大值为_12(2015湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.13在ABC 中，向量AB，BC的夹角为 120，BC2BD，且 AD2，ADC120，则ABC的面积等于_14(2015四川)如图，A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角(1)证明：tan A21cos Asin A；(2)若 AC180，AB6，BC
7、3，CD4，AD5，求 tan A2tan B2tanC2tan D2的值学生用书答案精析第 2 讲 三角变换与解三角形高考真题体验1D sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.22 3解析 如图所示，在ABC 中，由正弦定理得 2 3sin 60 4sin B，解得 sin B1，所以 B90，所以 SABC12AB2 312422 322 32 3.3.6解析 由正弦定理得ABsinADB ADsin B，即2sinADB3sin 120，解得 sinADB 22，ADB45，从而BAD15DAC，所以C18012
8、03030，AC2ABcos 30 6.4.6 24解析 由 sin A 2sin B2sin C，结合正弦定理得 a 2b2c.由余弦定理得 cos Ca2b2c22aba2b2a 2b242ab34a212b2 2ab22ab234a212b2 2ab22ab 6 24，故 6 24cos C1，且 3a22b2 时取“”故 cos C 的最小值为 6 24.热点分类突破例 1(1)C(2)B解析(1)sin(3)sin 4 35，20，32sin 32 cos 4 35，32 sin 12cos 45，cos(23)cos cos23 sin sin2312cos 32 sin 45.(
9、2)由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos cos sin，sin()cos sin(2)(0，2)，(0，2)，(2，2)，2(0，2)，由 sin()sin(2)，得 2，22.跟踪演练 1(1)C(2)D解析(1)cos310sin5sin2310sin5sin5sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan51tan tan5121213.(2)3cos 101sin 1703cos 101sin 10 3sin 10cos 10sin 10cos 102sin103012sin 202si
10、n 2012sin 204，故选 D.例 2 解(1)SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因为 SABD2SADC，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理可得sin Bsin CACAB12.(2)因为 SABDSADCBDDC，所以 BD 2.在ABD 和ADC 中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故 AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知 AB2AC，所以 AC1.跟踪演练 2(1)(6 2，6 2)(2)C解析(1)如图所示，延长 BA 与 CD 相交于点 E，过点 C 作 C
11、FAD 交AB 于点 F，则 BFABBE.在等腰三角形 CBF 中，FCB30，CFBC2，BF 2222222cos 30 6 2.在等腰三角形 ECB 中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BEsin 752sin 30，BE212 6 24 6 2.6 2AB 6 2.(2)c2(ab)26，c2a2b22ab6.C3，c2a2b22abcos 3a2b2ab.由得 ab6.SABC12absin C126 32 3 32.例 3 解(1)由题意知 f(x)sin 2x21cos2x22sin 2x21sin 2x2sin 2x12.由22k2x22k，kZ，可得4kx4k，k
12、Z；由22k2x32 2k，kZ，可得4kx34 k，kZ.所以 f(x)的单调递增区间是4k，4k(kZ)；单调递减区间是4k，34 k(kZ)(2)由 f A2 sin A120，得 sin A12，由题意知 A 为锐角，所以 cos A 32.由余弦定理 a2b2c22bccos A，可得 1 3bcb2c22bc，即 bc2 3，且当 bc 时等号成立因此12bcsin A2 34.所以ABC 面积的最大值为2 34.跟踪演练 3 解(1)f(x)2cosx2(3cosx2sinx2)2 3cos2x22sinx2cosx2 3 3cos xsin x 32sin(3x)，由 f(A)
13、31，可得 32sin(3A)31，所以 sin(3A)12.又 A(0，)，所以3A(23，3)，所以3A6，即 A6.由 a2c2b2mbc 及余弦定理，可得m2b2c2a22bccos A 32，所以 m 3.(2)由(1)知 cos A 32，则 sin A12，又b2c2a22bccos A 32，所以 b2c2a2 3bc2bca2，即 bc(2 3)a22 3，当且仅当 bc 时等号成立，所以 SABC12bcsin A2 34，即ABC 面积的最大值为2 34.高考押题精练1D 因为在ABC 中，BC1，B3，ABC 的面积 S 3，所以 SABC12BCBAsin B 3，即
14、121BA 32 3，解得 BA4.又由余弦定理，得 AC2BC2BA22BCBAcos B，即得 AC 13，由正弦定理，得 BAsin C ACsin B，解得 sin C2 3913.2解(1)f(x)32 sin 2x12(cos 2x1)sin(2x6)12，因为函数 f(x)的周期为 T2223，所以 32.(2)由(1)知 f(x)sin(3x6)12，易得 f(A)sin(3A6)12.因为 sin B，sin A，sin C 成等比数列，所以 sin2Asin Bsin C，所以 a2bc，所以 cos Ab2c2a22bcb2c2bc2bc2bcbc2bc12(当且仅当 b
15、c 时取等号)，因为 0A，所以 0A3，所以63A656，所以12sin(3A6)1，所以1sin(3A6)1212，所以函数 f(A)的值域为(1，12二轮专题强化练答案精析第 2 讲 三角变换与解三角形1A(2，)，4(34，54)，sin(4)35，cos(4)45，cos cos(44)cos(4)cos4sin(4)sin445 22 35 22 210.2D 由 f(3)165，得 4sin13(3)6165，即 4sin(2)165，所以 cos 45，又 0，2，所以 sin 35.由 f(352)2013，得 4sin13(352)62013，即 sin()513，所以 s
16、in 513.又 0，2，所以 cos 1213.所以 cos()cos cos sin sin 45121335 5136365.3B 由 bcos Cccos Basin A，得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即 sin(BC)sin2A，所以 sin A1，由 0A，得 A2，所以ABC 为直角三角形4C 由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 4b2122b2 3 32，即 b26b80，b4 或 b2，又 bc，b2.5D 由题意得，BCBA|BC|BA|cos Baccos B12，即 cos B 12ac，由余弦定理，得 cos Ba2c2b22ac
17、12aca2c2b21，所以 tan B2 3a2b2c22 3，故选 D.6.334解析 1cos 24sin2sin 22cos24sin22sin cos 12tan2tan 12164334.78解析 cos A14，0A，sin A 154，SABC12bcsin A12bc 1543 15，bc24，又 bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222414 64，a8.815解析 依题意有 PDAD，BA30 m，BC10 3 m，PAD，PBD2，PCD4，所以APBPBDPADPAD.所以 PBBA30 m.同理可得 PCBC10 3
18、 m.在BPC 中，由余弦定理，得cos 210 3230210 32210 330 32，所以 230，460.在PCD 中，PDPCsin 410 3 32 15(m)9解(1)由(abc)(abc)37bc 可得 a2(bc)2a2b2c22bc37bc，所以 a2b2c2117 bc，所以 cos Ab2c2a22bc1114，所以 sin A 1cos2A 514 3，所以 cos Ccos(AB)(cos Acos Bsin Asin B)(1114125 314 32)17.(2)由(1)可得 sin C 1cos2C4 37，在ABC 中，由正弦定理csin C bsin B
19、asin A，得 casin Csin A 8，S12acsin B1258 32 10 3.10解(1)因为 g(x)2sin(x4)12 3 32sin(x6)，所以 f(4)g(6)2sin(4 12)32sin31.(2)因为 g(x)2sin(x6)，所以当 x622k(kZ)，即 x32k(kZ)时，g(x)取得最大值因为 xB 时 g(x)取得最大值，又 B(0，)，所以 B3.而 b2a2c22accos3a2c2ac(ac)23ac163ac163(ac2)216124，所以 b2.又 b0，2tan tan242tan 4tan 22 412，故sin 2sin24cos2
20、的最大值为12.12100 6解析 在ABC 中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得BCsinBACABsinACB，即BCsin 30 600sin 45，所以 BC300 2.在 RtBCD 中，CBD30，CDBCtanCBD300 2tan 30100 6.132 3解析 在ABC 中，因为ADC120，所以ADB60，因为向量AB，BC的夹角为 120，所以B60，所以ADB 为等边三角形因为 AD2，所以 ABBD2.因为BC2BD，所以点 D 为 BC 的中点，所以 BC4，所以ABC 的面积 SABC12BABCsin B1224sin 602 3.14(
21、1)证明 tan A2sin A2cos A22sin2A22sin A2cos A21cos Asin A.(2)解 由 AC180，得 C180A，D180B，由(1)，有 tan A2tan B2tan C2tan D21cos Asin A1cos Bsin B1cos180Asin180A1cos180Bsin180B 2sin A 2sin B.连接 BD，在ABD 中，有 BD2AB2AD22ABADcos A，在BCD 中，有 BD2BC2CD22BCCDcos C，所以 AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos A，则 cos A AB2AD2BC2CD22ABADBCCD625232422653437，于是 sin A 1cos2A1 3722 107.连接 AC，同理可得cos BAB2BC2AD2CD22ABBCADCD6232524226354 119，于是 sin B 1cos2B111926 1019.所以 tan A2tan B2tan C2tan D2 2sin A 2sin B272 102196 104 103.
