1、第二章章末学考测评(时间：120分钟满分：150分)第卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知M(2,0)，N(2,0)，|PM|PN|4，则动点P的轨迹是(C)A双曲线B双曲线的左支C一条射线D双曲线的右支解析 |PM|PN|MN|4，动点P的轨迹是一条射线2如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(D)A(1，)B(1,2)CD(0,1)解析 由x2ky22，得1，又椭圆的焦点在y轴上，2，即0k0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(B)A
2、B2CD3解析 由tan，有3c24b24(c2a2)，则e2，故选B7已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上，则(C)A12B2C0D4解析 由渐近线方程为yx，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2y22，于是两焦点分别是F1(2,0)和F2(2,0)，且P(，1)或P(，1)不妨取P(，1)，则(2，1)，(2，1)，所以(2，1)(2，1)(2)(2)10.8已知双曲线1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|7，则PF1F2最大内角的余弦值为(A)ABCD解析 由双曲线定义知|PF2|PF1|2a.
3、所以|PF2|13或|PF2|10，b0)的左焦点F(c,0)(c0)作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率为(A)ABCD解析 设双曲线右焦点为M，OEPF，在直角三角形OEF中，|EF|.又()，E是PF的中点|PF|2，|PM|a.又|PF|PM|2a，2a2a.离心率e.10已知A，B，C，D是抛物线y24x上四点，F是焦点，且0，则|(C)A4B6C8D10解析 由题得F(1,0)，0，xA1xB1xC1xD10，xAxBxCxD4.由抛物线定义可得|xA1xB1xC1xD1448.11设O为坐标原点，F1，F2是双曲线1(a0，b0)的焦
4、点，若在双曲线上存在点P，满足F1PF260，|OP|a，则该双曲线的渐近线方程为(D)Axy0Bxy0Cxy0Dxy0解析 如图，O是线段F1F2的中点，2，()2(2)2，|2|22|cos 604|2.又|a，|2|2|28a2.由双曲线定义，得|2a，两边平方，得|2|22|4a2.，得|8a2.|2|220a2.在PF1F2中，由余弦定理，得|2|22|cos 60|2，20a28a24c2，c23a2.又b2c2a22a2，故，该双曲线的渐近线方程为xy0.12(2017全国卷)A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是(A)A(0,19，)B
5、(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)解析 分两种情况讨论(1)当x轴为长轴，即时，A(，0)，B(，0)如图，由图可知，当点M为y轴与椭圆的交点M时，AMB最大要使椭圆C上存在点M满足AMB120，则AMB120，即AMO60.又tanAMOtan 60，故00)，2a2c2，a.由余弦定理有cosF1PF21，|PF1|PF2|2a2，当且仅当|PF1|PF2|时，|PF1|PF2|取得最大值a2.此时cosF1PF2取得最小值1.由题意1，解得a23，b2a2c2321.点P的轨迹方程为y21.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)
6、(2017全国卷)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，则直线AB的斜率k1.(2)由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y，得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线
7、AB的方程为yx7.18(12分)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值解析 (1)因为所以a1，c，则b2c2a22，所以双曲线C的方程为x21.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220，8m280.所以x0m，y0x0m2m.因为点M(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25，故m1.19(12分)(2018浙江金华质检)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2
8、，且|F1F2|6，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长的差为4，离心率之比为37.(1)求这两条曲线的方程；(2)若P为两曲线的一个交点，求F1PF2的余弦值解析 (1)设椭圆方程为1，双曲线方程为1.因为c3，由已知得解得故两曲线的方程分别为1及1.(2)设F1PF2，点P为两曲线在第一象限的交点由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos |F1F2|2108.由椭圆的定义得|PF1|PF2|14，由双曲线的定义得|PF1|PF2|6，综合，得cos .20(12分)抛物线y22px的焦点弦AB的中点为M，A，B，M在准线上的射影依次为C，D，N.(1)求证：A，O，D三点
9、共线，B，O，C三点共线；(2)求证：FNAB(F为抛物线的焦点)证明 (1)设A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，中点M(x0，y0)，焦点F的坐标是.若AB的斜率不存在，易证A，O，D三点共线，B，O，C三点共线若AB的斜率存在，设为k(k0)，则AB：yk.由得ky22pykp20.A，B，M在准线上的射影依次为C，D，N，C，D，N，kO A，kO D.由ky22pykp20，得y1y2p2，y2，kO D，kO AkO D，即 A，O，D三点共线同理可证B，O，C三点共线(2)kFN，当x1x2时，显然 FNAB；当x1x2时，kAB，则kFNkAB1，FNAB.综上所述，FNAB
10、.21(12分)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过点F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.求证：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标解析 (1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)由(1)可得点F的坐标是(2,0)，设点T的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ
11、的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0，所以y1y2，y1y2.x1x2m(y1y2)4.所以直线PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由可得|TF|，|PQ|.所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值所以当最小时，点T的坐标是(3,1)或(3，1)22(12分)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(
12、1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，求证：直线AE过定点，并求出定点坐标；ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解析 (1)由题意知F.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)，故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb
13、，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0)由知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1.因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00，设B(x1，y1)，则y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4.则ABE的面积S416，当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.
