1、【知识重温】一、必记 2 个知识点1抛物线定义、标准方程及几何性质定义(几何条件)平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离_的点的轨迹叫做抛物线 标准方程y22px(p0)_图形对称轴x 轴_y 轴_顶点坐标O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)相等y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)x 轴y 轴焦点坐标F(p2，0)_ _ _ 离心率 ee1e1_e1准线方程 _xp2yp2_焦半径公式|PF|x0p2|PF|x0p2 _范围x0yRx0yR_xR_xRF(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)e1xp2yp2|PF|y0p2|PF|y0p2y0y02.抛物线焦
2、点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p 2psin2(为弦 AB 的倾斜角)(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于 2p.二、必明 2 个易误点1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中参数 p 易忽视，只有 p0，才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打
3、“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()22020石家庄质量检测抛物线 y2x2 的准线方程是()Ax12 Bx12Cy18Dy18解析：抛物线 y2x2 的标准方程为 x212y，其准线方程为 y18，故选 D.答案：D3过点 P(2,3)的抛物线的标准方程是()Ay292x 或 x243yBy292x 或 x243yCy29
4、2x 或 x243yDy292x 或 x243y解析：设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P(2,3)，解得 k92，m43，所以 y292x 或 x243y.答案：A4抛物线 y4x2 上的一点 M 到焦点 F 的距离为 1，则点 M 的纵坐标是()A.1716 B.1516C.78D0解析：设 M(x，y)，且抛物线方程可化为 x214y，则必有|MF|yp2y 1161，所以 y1516.答案：B5抛物线 8x2y0 的焦点坐标为_解析：由 8x2y0，得 x218y.2p18，p 116，焦点为0，132.答案：0，132 考点一 抛物线的定义和标准方程自主练透型12
5、020湖北鄂州调研过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作斜率为 3的直线，与抛物线在第一象限内交于点 A，若|AF|4，则 p()A2 B1C.3 D4解析：过点 A 作 AB 垂直 x 轴于点 B，则在 RtABF 中，AFB3，|AF|4，|BF|12|AF|2，则 xA2p2，|AF|xAp22p4，得 p2，故选 A.答案：A22020成都高三摸底考试已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0，2)，则此抛物线的标准方程为_解析：依题意可设抛物线的方程为 x22py(p0)，因为焦点坐标为(0，2)，所以p22，解得 p4.故所求抛物线的标准方程为 x28y.答案：x28y3202
6、0郑州一中高三摸底考试从抛物线 y14x2 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5.设抛物线的焦点为 F，则MPF 的面积为_解析：由题意，得 x24y，则抛物线的准线方程为 y1.从抛物线上一点 P 引抛物线准线的垂线，设 P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|y01，所以 y04，所以|x0|4，所以 SMPF12|PM|x0|125410.答案：10悟技法应用抛物线定义的 2 个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|x|p2或|PF|y|p2.考点二 抛物线的几何性
7、质互动讲练型例 1(1)2020湖南师大附中高三模拟设抛物线 y22px 的焦点在直线 2x3y80 上，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx3 Dx4解析：(1)因为抛物线 y22px 的焦点p2，0 在 2x3y80 上，所以 p8，所以抛物线的准线方程为 x4，故选 D.答案：(1)D (2)一个顶点在原点，另外两点在抛物线 y22x 上的正三角形的面积为_解析：(2)如图，根据对称性：A，B 关于 x 轴对称，故AOx30.直线 OA 的方程 y 33 x，代入 y22x，得 x26x0，解得 x0 或 x6.即得 A 的坐标为(6,2 3)|AB|4 3，正三角形 OAB 的
8、面积为124 3612 3.答案：(2)12 3 悟技法1.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.变式练(着眼于举一反三)12020合肥市第二次质量检测已知抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为()A 3 B1C34D 33解析：设
9、M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xMp22p，解得 xM3p2，代入抛物线方程可得 yM 3p，则直线 MF 的斜率为yMxMp2 3pp 3，选项 A 正确答案：A22020福州四校联考已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线 l 过抛物线 C 的焦点 F，且与抛物线的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，且|AB|8，M 为抛物线 C 准线上一点，则ABM 的面积为()A16 B18C24 D32解析：不妨设抛物线 C：y22px(p0)，如图，因为直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段 AB 为通径，所以 2p8，p4，又 M 为抛
10、物线 C 的准线上一点，所以点 M 到直线 AB 的距离即焦点到准线的距离，为 4，所以ABM 的面积为128416，故选 A.答案：A考点三 直线与抛物线的位置关系互动讲练型例 2 2019全国卷已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若AP3PB，求|AB|.解析：设直线 l：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得 F34，0，故|AF|BF|x1x232，由题设可得 x1x252.由y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x
11、212t19.从而12t1952，得 t78.所以 l 的方程为 y32x78.(2)由AP3PB可得 y13y2.由 y32xt，y23x可得 y22y2t0.所以 y1y22.从而3y2y22，故 y21，y13.代入 C 的方程得 x13，x213.故|AB|4 133.悟技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问
12、题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.变式练(着眼于举一反三)32018全国卷设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程解析：(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykx1，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k2
13、4k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)或 k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，x012y0 x012216.解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.微专题(十八)抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳1定义转换法例 1 已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点，B
14、(1,1)，点 P到直线 l：x12的距离为 d，求 d|PB|的最小值解析：由题意得抛物线 y22x 的焦点 F12，0，直线 l 是抛物线的准线，如图，连接 BF，PF，所以 d|PF|，则 d|PB|PF|PB|BF|1122102 132，当且仅当 B，P，F 三点共线时取等号，所以 d|PB|的最小值为 132.名师点评 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算2平移直线法例 2 抛物线 yx2 上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是_解析：解
15、法一 如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛物线 yx2 相切的直线为 4x3yb0，切线方程与抛物线方程联立得yx2，4x3yb0，消去 y 整理得 3x24xb0，则 1612b0，解得 b43，所以切线方程为 4x3y430，抛物线 yx2 上的点到直线4x3y80距离的最小值是这两条平行线间的距离d|843|543.解法二 由 yx2，得 y2x.如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛物线 yx2 相切的直线与抛物线的切点是 T(m，m2)，则切线斜率 ky|xm2m43，所以 m23，即切点 T23，49，点 T 到直线 4x3y80 的距离 d83438169 43，由图知抛物
16、线 yx2 上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是43.答案：43名师点评 若抛物线上的点 P 到直线 l 的距离最小，则过点 P与 l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离3函数法针对上面的例 2，我们给出第三种解决方法：解法三 设 P(x，x2)，则点 P 到直线 4x3y80 的距离 d|4x3x28|169153x232203 35x23243，在抛物线 yx2中，xR，所以当 x23时，d 取得最小值43，即抛物线 yx2 上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是43.例 3 若点 P 在抛物线
17、 y2x 上，点 Q 在圆(x3)2y21 上，则|PQ|的最小值为_解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为 A(3,0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1，当且仅当 P，Q，A 三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小设 P(x0，y0)，则 y20 x0，|PA|x032y20 x206x09x0 x0522114，当且仅当 x052时，|PA|取得最小值 112，此时|PQ|取得最小值 112 1.答案：112 1名师点评 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标
