1、数列的概念与通项公式【知识梳理】1数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项a1称为数列an的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，an称为第n项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an简记为an2. 数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3. 数列的通项公式如果数列an的第n项与
2、序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式【常考题型】题型一、数列的概念及分类【例1】已知下列数列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，1,2，3,4，5，；(3)0，；(4)1,0.2,0.22,0.23，；(5)0，1,0，cos，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)解析(1)是常数列且是有穷数列；(2)是无穷摆动数列；(3)是无穷递增数列(因为1)；(4)是无穷递减数列；(5)是无穷摆动数列答案(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)【类题通法】判断给出的数列是有穷数列
3、还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确定时，则是摆动数列【对点训练】1给出下列数列：(1)20062013年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个构成数列，.(3)2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列2,4，8,16，32，.(4)精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
4、1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？解：有穷数列有：82,93,105,119,129,130,132,135；无穷数列有：，；2,4，8,16，32，；1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.递增数列有：82,93,105,119,129,130,132,135；1,1.4,1.41,1.414，.递减数列有：2,1.5,1.42,1.415，.常数列有：，.摆动数列有：2,4，8,16，32，.题型二、由数列的前几项求通项公式【例2】写出下列数列的一个
5、通项公式：(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，；解(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以，它的一个通项公式为an(nN*)(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an10n1.(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an(nN*)(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇
6、数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n.【类题通法】此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系【对点训练】2写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.解：(1)观察数列中的数，可以看到011,341，89
7、1,15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann.(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1).题型三、通项公式的简单应用【例3】已知数列an的通项公式是an.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断和是否是
8、该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由解(1)由通项公式an可得a4，a7.(2)令，得n29，所以n3(n3舍去)，故是该数列中的项，并且是第3项；令，得n2，所以n，由于都不是正整数，因此不是数列中的项【类题通法】1数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项2判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项【对点训练】3已知数列an的通项公式为anqn，且a4a272.(1)求实数q的值；(2)判断81是否为此数
9、列中的项解：(1)由题意知q4q272q29或q28(舍去)，q3.(2)当q3时，an3n，显然81不是此数列中的项；当q3时，an(3)n，令(3)n8134，也无解81不是此数列中的项【练习反馈】1将正整数的前5个数排列如下：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有()ABC D解析：选D数列是按“一定顺序”排列着的一列数因此选D.注意此题易错选B.2在数列1,0，中，0.08是它的()A第100项 B.第12项C第10项 D第8项解析：选Can，令0.08，解得n10或n(舍去)3若数列an的通项公式是an32n，则a2n_，_.解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项an32n，a2n322n34n，.答案：34n4若数列an的通项满足n2，那么15是这个数列的第_项解析：由n2可知，ann22n，令n22n15，得n5.答案：55已知：an，(1)求a3；(2)若an，求n.解：(1)将n3代入an，得a3.(2)将an代入an，得，解得n8.
