1、课后限时集训(五十五)抛物线建议用时：40分钟一、选择题1点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()Ax2y Bx2y或x2yCx2y Dx212y或x236yD将yax2化为x2y.当a0时，准线y，则36，a.当a0时，准线y，则6，a.抛物线方程为x212y或x236y.2(2020泰安模拟)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p()A1 B C2 D2B由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得1，p0，p，故选B3(2020北京高考)设抛物线的顶点为O
2、，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线()A经过点O B经过点PC平行于直线OP D垂直于直线OPB如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B4(2020攀枝花模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l交抛物线于A，B两点，若|AF|3，则此抛物线方程为()Ay2x By26xCy23x Dy22xC过点A向x轴作垂线，垂足为E，因为|AF|3，直线AB的倾斜角为60，所以|AE|AF|sin 60，|EF|AF|cos
3、 60，又F为抛物线y22px(p0)的焦点，所以F，因此E，故A，又点A在抛物线y22px(p0)上，所以2p，即4p212p270，解得p或p(舍)故抛物线的方程为y23x.故选C5过抛物线y24x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点(xAxB)，则()A B C3 D2D设直线方程为y2(x1)，与y24x联立得2x25x20，所以(2x1)(x2)0，x1，x22.因为xAxB，所以xA2，xB，所以2.6(2020江西萍乡一模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线l：x1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x1上的射影为A，且直线AF的斜率为，则MAF的面积为()A
4、 B2 C4 D8C如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|2.直线AF的斜率为，AFN60.MAF60，|AF|4.由抛物线的定义可得|MA|MF|，AMF是边长为4的等边三角形SAMF424.故选C二、填空题7已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是 ；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN| .y28x6抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(2,0)，可得p4，则抛物线C的方程是y28x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y2，则M(1，2)，则点N的坐标为(0，4)，所以|FN|6.8如图是抛物线形拱
5、桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽 米2建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x22py(p0)由题意可知抛物线过点(2，2)，故44p，p1，x22y.故当y3时，x26，即x.所以当水位降1米后，水面宽2米9已知抛物线y24x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF| .法一：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|xA13，所以xA2，yA2，所以直线AB的斜率为k2.则直线AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立整理得2x25x20，xAxB，所以xB，所以|BF|1.法
6、二：由可知1，|BF|.三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x2)2y24的圆心恰是抛物线的焦点(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|CD|的值解(1)设抛物线方程为y22px(p0)，圆(x2)2y222的圆心恰是抛物线的焦点，p4.抛物线的方程为y28x.(2)依题意直线AB的方程为y2x4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则得x26x40，x1x26，|AD|x1x2p6410.|AB|CD|AD|CB|1046.11.如图，已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E
7、上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为AGB的平分线解(1)由抛物线定义可得|AF|23，解得p2.抛物线E的方程为y24x.(2)证明：点A(2，m)在抛物线E上，m242，解得m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，直线AF的方程为y2(x1)，由得2x25x20，解得x2或，B.又G(1,0)，kGA，kGB，kGAkGB0，AGFBGF.GF为AGB的平分线1已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为
8、()A3 B4 C5 D1A由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.2(2020济宁三模)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为()A B C DB由题意得抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，|AF|2|BF|，x112(x21)，x12x21，|y1|2|y2|，y4y，x14
9、x2，x12，x2.线段AB的中点到该抛物线准线的距离为(x11)(x21).故选B3已知点A(m,4)(m0)在抛物线x24y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围解(1)证明：点A(m,4)在抛物线上，16m2，m4，又m0，m4.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kABkAC0，x1x28.kBC2，直线BC的斜率为定值2.(2)设直线BC的方程为y2xb，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则
10、kPQ，x01.M(1，2b)又点M在抛物线内部，2b，即b.由得x28x4b0，x3x48，x3x44b.|BC|x3x4|.又b，|BC|10.|BC|的取值范围为(10，)1(2020潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为()A B9C D9DMAx轴，A，由题意可知AB经过抛物线y24x的焦点F(1,0)，直线AB的方程为y(x1)
11、联立方程解得B(4，4)，|AM|3，|AB|42，|MB|.ABM的周长为9.故选D2(2020静安区二模)已知抛物线：y24x的焦点为F，若ABC的三个顶点都在抛物线上，且0，则称该三角形为“核心三角形”(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2.解(1)抛物线：y24x的焦点为F(1,0)，由0，得1，0，故第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2，2)，但点(2，2)不满足抛物线的方程，即点(
12、2，2)不在抛物线上，所以这样的“核心三角形”不存在(2)设直线AB的方程为y4xt，与y24x联立，可得y2yt0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，y1y21，x1x2(y1y22t)t，由(x1x2x3，y1y2y3)(3,0)，可得x3t，y31，代入方程y24x，可得112t1，解得t5，所以直线AB的方程为4xy50.(3)证明：设直线BC的方程为xnym，与y24x联立，可得y24ny4m0，因为直线BC与抛物线相交，故判别式16(n2m)0，y1y24n，所以x1x2n(y1y2)2m4n22m，可得点A的坐标为(4n22m3，4n)，又因为A在抛物线上，故16n216n28m12，可得m4n2，因为mn2，所以n2，故A的横坐标为4n22m34n28n24n22.
