1、3.1.1 函数的概念(二)本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修一（人教A版）第三章函数的概念与性质，本节课是第1课时。函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数
2、的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.课程目标学科素养A. 能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数B. 会求函数的定义域C. 会求函数的值域1.逻辑推理：同一个函数的判断；2.数学运算：求函数的定义域，值域；1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：
3、求函数的值域。多媒体一、 复习回顾，温故知新1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) xAx叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域.2.对函数符号y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。当x=2时y=7可以写成f(
4、2)=7想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示， 如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；二、探索新知探究一 同一个函数前提条件定义域相同对应关系完全一样结论是同一个函数思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可探索二 常见函数的定义域和值域 思考2：求二
5、次函数的值域时为什么分和两种情况？提示：当a0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为y|y当a0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为y|y例1.判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)f(x)与g(x)x是同一个函数()(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数()(3)函数f(x)x2x与g(t)t2t是同一个函数()解析(1)f(x)与g(x)x的定义域不相同，所以不是同一个函数(2)例如f(x)与g(x)的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数(3)函数f(x)x2x与g(t)t2t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函
6、数是同一个函数例2 (2019江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数yf(x)的图象的是()解析由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线xa，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数例3若函数yx23x的定义域为1,0,2,3，则其值域为(A)A2,0,4B2,0,2,4Cy|yDy|0y3例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是()Ay|1y1BRCy|2y3D1,0,1解析函数值只有1,0,1三个数值，故值域为1,0,1关键能力攻重难题型一 函数的值域1、函数的值域是()A(3,0B(3,1 C0,1D1,5)分析首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的
7、对称轴与限定区间的位置关系解析由，可知当x2时，；当x0时，因为x2，所以函数的值域为(3,1归纳提升二次函数的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值题型二 同一个函数2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y与y1；(2)y与yx；(3)y与y.分析判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可解析(1)对应关系相同，都是无论x取任何有意
8、义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y的定义域是x|x0，而y1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数(2)对应关系不相同，y|x|的定义域为R，yx的定义域也是R，但当x0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数(3)函数y的定义域为使成立的x的集合，即x|1x1在此条件下，函数解析式写为y，而y的定义域也是x|1x1，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数归纳提升判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是
9、同一函数题型三复合函数、抽象函数的定义域3、(1)若函数f(x)的定义域为(1,2)，则函数f(2x1)的定义域为_.(2)若函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(x)的定义域为_.(3)若函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(x1)的定义域为_.分析(1)f(x)的定义域为(1,2)，即x的取值范围为(1,2)f(2x1)中x的取值范围(定义域)可由2x1(1,2)求得(2)f(2x1)的定义域为(1,2)，即x的取值范围为(1,2)，由此求得2x1的取值范围即为f(x)的定义域(3)先由f(2x1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x1)的定义域解
10、析(1)由12x12，得1x，f(2x1)的定义域为(1，)(2)1x2，12x15，f(x)的定义域为(1,5)(3)由f(2x1)的定义域为(1,2)得f(x)的定义域为(1,5)，由1x15得0x6，f(x1)的定义域为(0,6)归纳提升函数yfg(x)的定义域由yf(t)与tg(x)的定义域共同决定：(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数fg(x)的定义域由g(x)A解出(2)若已知函数fg(x)的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域误区警示函数概念理解有误1、设集合Mx|0x2，集合Ny|0y2，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函
11、数关系的个数是()A0B1C2D3错解函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D错因分析不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应正解图(1)定义域M中的(1,2部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2上任给一个元素，在值域(0,2上有两个元素和它对应，因此不唯一故只有图(2)正确答案为B方法点拨函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定
12、义域与数集A、值域与数集B之间的关系学科素养求函数值域的方法转化与化归思想及数形结合思想的应用1分离常数法求函数y的值域分析这种求函数值域的问题，我们常把它们化为ya的形式再求函数的值域解析y3，又0，y3.函数y的值域是y|yR，且y3归纳提升求y这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为ya的形式2配方法求函数的值域解析，其图象是开口向下，顶点为(1,4)，在x5，2上对应的抛物线上的一段弧根据x5，2时的抛物线上升，则当x5时，y取最小值，且；当x2时，y取最大值，且.故的值域是12,3归纳提升遇到求解一般二次函数yax2bxc(a0)的值域时，应采用配方法，将函数化为ya(x)2的形式，从而求得函数的值域3换元法求函数yx的值域分析忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令t，则x(t21)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围解析设u(x)，则x(u0)，于是yu(u0)由u0知(u1)21，则y.故函数yx的值域为，)归纳提升求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围
