1、2020年春四川省泸县第一中学高二第四学月考试理科数学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1命题“使得”的否定是A都有B使得C使得D都有2已知复数满足(为虚数单位),则ABCD3已知两直线,平行,则的值是ABCD4下列判断正确的是A两
2、圆锥曲线的离心率分别为,则“”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件B命题“若,则.”的否命题为“若,则.”C若命题“”为假命题,则命题“”是假命题D命题“,.的否定是“,.”5如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为ABCD6已知命题p:,命题,则下列命题中的真命题为ABCD7我校在模块考试中约有1000人参加考试,其数学考试成绩,统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为A.600 B.400 C.300 D.2008在展开式中含项的系数为,则a等于ABCD9 ABC
3、D10篮子里装有3个红球,4个白球和5个黑球,球除颜色外,形状大小一致某人从篮子中随机取出两个球,记事件A=“取出的两个球颜色不同”,事件B= “取出一个红球,一个白球”,则=ABCD11函数的图象上关于轴对称的点共有A1对B2对C3对D4对12已知函数在上恰有两个零点,则实数的取值范围是ABCD第II卷 非选择题(90分)二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13某田径队有男运动员30人,女运动员10人,用分层抽样的方法从中抽出一个容量为20的样本,则抽出的女运动员有_人.14二维空间中,圆的一维测度(周长),二维测度(面积);三维空间中,球的二维测度(表面积),三维测度(体积)
4、.应用合情推理,若四维空间中,“特级球”的三维测度,则其四维测度_.152018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有_种16已知直线(其中为非零实数)与圆相交于A,B两点,O为坐标原点,且,则的最小值为_三解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要
5、求作答。(一)必考题:共60分17(12分)已知函数在处取得极值.(I)求,并求函数在点处的切线方程;(II)求函数的单调区间.18(12分)某公司共有职工1500人,其中男职工1050人,女职工450人.为调查该公司职工每周平均上网的时间,采用分层抽样的方法,收集了300名职工每周平均上网时间的样本数据(单位:小时)男职工女职工总计每周平均上网时间不超过4个小时每周平均上网时间超过4个小时70总计300()应收集多少名女职工样本数据?()根据这300个样本数据,得到职工每周平均上网时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:,.试估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率是
6、多少?()在样本数据中,有70名女职工的每周平均上网时间超过4个小时.请将每周平均上网时间与性别的列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”19(12分)如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,.()求平面与平面所成锐二面角的余弦值;()点是线段上的动点,当直线与所成的角最小时,求线段的长.20已知椭圆与直线都经过点.直线与平行,且与椭圆交于两点,直线与轴分别交于两点.()求椭圆的方程; ()证明:为等腰三角形.21(本小题满分16分)己知函数()若,求函数的单调递减区间;()若关于的不等式恒成立,求整数的最小值:(III)若,正实数满足,证
7、明:(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中,曲线,曲线.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数).()求的直角坐标方程;()与交于不同四点,这四点在上的排列顺次为,求的值.23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数.()当时,求的解集;()当时,恒成立,求实数的取值范围.2020年春四川省泸县第一中学高二第四学月考试理科数学参考答案1D2C3A4D5C6B7D8A9D10B11C12D13514152416817(1)由题得, 又函数在处取得极值,所
8、以解得 即.(3分)因为,所以,所以曲线在点.(2)由(1)得,令,所以的单调递增区间为.令,所以的单调递减区间为.综上所述,的单调递减区间为,单调递增区间为.18(),应收集90位女职工的样本数据.()由频率分布直方图得估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率为0.75()由()知,300名职工中有人的每周平均上网时间超过4小时有70名女职工每周平均上网时间超过4小时,有名男职工每周平均上网时间超过4小时,又样本数据中有90个是关于女职工的,有个关于男职工的,有名女职工,有名男职工的每周上网时间不超过4小时,每周平均上网时间与性别的列联表如下:男职工女职工总计每周平均上网时间不超过4个
9、小时552075每周平均上网时间超过4个小时15570225总计21090300结合列联表可算得: 所以没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”19(1) 因为平面,所以是平面的一个法向量,因为设平面的法向量为,则,即,令,解得所以是平面的一个法向量,从而,所以平面与平面所成二面角的余弦值为(2) 因为,设,又,则,又,从而,设,则,当且仅当,即时,的最大值为因为在上是减函数,此时直线与所成角取得最小值又因为,所以20(1)由直线都经过点,则a=2b,将代入椭圆方程:,解得:b2=4,a2=16,椭圆的方程为。(2)设直线为:,联立:,得 于是 设直线的斜率为,要证为等腰
10、三角形,只需,所以为等腰三角形.21(1)因为f(1)=1a2=0,所以a=2, 此时f(x)=lnxx2+x,x0,f(x)=1x2x+1=2x2+x+1x(x0)由f(x)0,又x0,所以x1所以f(x)的单调减区间为(1,+) (2)方法一:令g(x)=f(x)-(ax1)=lnx12ax2+(1a)x+1,所以g(x)=1xax+(1a)=ax2+(1a)x+1x当a0时,因为x0,所以g(x)0所以g(x)在(0,+)上是递增函数,又因为g(1)=ln112a12+(1a)+1=32a+20,所以关于x的不等式f(x)ax1不能恒成立 当a0时,g(x)=ax2+(1a)x+1x=a
11、(x1a)(x+1)x,令g(x)=0,得x=1a所以当x(0,1a)时,g(x)0;当x(1a,+)时,g(x)0,h(2)=14ln20,又因为h(a)在a(0,+)是减函数所以当a2时,h(a)0所以整数a的最小值为2 方法二:(2)由f(x)ax1恒成立,得lnx12ax2+xax1在(0,+)上恒成立,问题等价于alnx+x+112x2+x在(0,+)上恒成立令g(x)=lnx+x+112x2+x,只要ag(x)max 因为g(x)=(x+1)(12xlnx)(12x2+x)2,令g(x)=0,得12xlnx=0设h(x)=12xlnx,因为h(x)=121x0;当x(x0,+)时,
12、g(x)0,h(1)=120所以12x01,此时11x00由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2ln(x1x2)令t=x1x2,则由(t)=tlnt得,(t)=t1t可知,(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递增所以(t)(1)=1, 所以(x1+x2)2+(x1+x2)1,因此x1+x2512成立 22(1)因为,由得,所以曲线的直角坐标方程为,由得,所以曲线的直角坐标方程为: .(2)不妨设四个交点自下而上依次为,它们对应的参数分别为.把代入,得,即,则, ,把,代入,得,即,则, ,所以.23(1)当时,由可得,所以当时,不等式转化为,无解,当时,不等式转化为,解得,当时,不等式转化为,解得,综上可知,不等式的解集为(2)当时,恒成立,即,故,即对任意的恒成立,所以