1、第三讲 柯西不等式与排序不等式3.1 二维形式的柯西不等式3.2 一般形式的柯西不等式A级基础巩固一、选择题1函数y2的最大值是()A.B.C3 D5解析：根据柯西不等式，知y12.答案：B2已知x，y，z均大于0，且xyz1，则的最小值为()A24 B30C36 D48解析：(xyz)36，所以36.答案：C3已知a，b0，且ab1，则()2的最大值是()A2 B.C6 D12解析：()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当，即ab时等号成立答案：D4已知ab1，则以下成立的是()Aa2b21 Ba2b21Ca2b21 Da2b21解析：由柯西不等式
2、，得1ab1，当且仅当时，上式取等号，所以ab ，即a2b2(1a2)(1b2)，于是a2b21.答案：B5已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为()A1 B2C1 D不确定解析：因为(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当aikxi(i1，2，n)时等号成立所以a1x1a2x2anxn的最大值是1.答案：A二、填空题6函数y的最大值是_解析：因为()2(11)(x15x)8，当且仅当，即x3时，等号成立，所以2，函数y取得最大值2.答案：27已知x，y，zR，且xyz1，则x2y2z2的最小值为_解析：根据柯西不等式，x2y2z2(121212
3、)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2，当且仅当xyz时等号成立答案：8设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_解析：根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.答案：三、解答题9已知m0，n0，mnp，求证：，指出等号成立的条件证明：根据柯西不等式，得(mn)4.于是.当mn时等号成立10设xyz1，求函数u2x23y2z2的最小值解：由xyzxy1z.根据柯西不等式，有(2x23y2z2)(2x23y2z2)，因此1(xyz)2(2x23y2z2)，所以u2x23y2z2，当且仅当x，y，z时等号成立所以
4、x，y，z，代入xyz1，得x，y，z时，等号成立故函数u2x23y2z2的最小值是.B级能力提升1已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.， B.，C1， D1，解析：当且仅当时，取到最小值，所以联立可得x，y，z.答案：B2已知4x25y21，则2xy的最大值是_解析：因为2xy2x1y1，所以2xy的最大值为.答案：3已知正数x，y，z满足xyz1.(1)求证：；(2)求4x4y4z2的最小值(1)证明：(y2zz2xx2y)1，即31，所以.(2)解：由基本不等式，得4x4y4z23，因为xyz1，所以xyz21zz2，故4x4y4z233，当且仅当xy，z时等号成立，所以4x4y4z2的最小值为3.
