1、一、必记 6 个知识点1二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线 AxByC0分成三类：(1)满足 AxByC0 的点(2)满足 AxByC0 的点(3)满足 AxByC0 或 AxByC0 时，区域为直线 AxByC0 的上方(2)当 B(AxByC)0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式 AxByC0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方()(2)任 何 一 个 二 元 一 次 不 等 式 组 都
2、 表 示 平 面 上 的 一 个 区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(5)目标函数 zaxby(b0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截距()2不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是()解析：x3y60 表示直线 x3y60 左上方部分，xy20 表示直线 xy20 及其右下方部分故不等式组表示的平面区域为选项 C 所示部分答案：C3下面给出的四个点中，位于xy10表示的平面区域内的点是()A(0,2)B(2,0)C(0，2)D(2,0)解析：将四个点的坐标分别代入不等式组xy10，满足条
3、件的是(0，2)答案：C42020宝安，潮阳，桂城等八校联考设 x，y 满足约束条件 2xy60，x2y60，y0，则目标函数 zxy 的最大值是()A3 B4C6 D8解析：通解 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作直线 xy0，平移该直线，当直线经过点 A(6,0)时，z 取得最大值，即 zmax6，故选 C.优解 目标函数 zxy 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3,0)，(6,0)，(2,2)当 x3，y0 时，z3；当 x6，y0 时，z6；当 x2，y2 时，z4.所以 zmax6，故选 C.答案：C5已知实数 x，y 满足x1，y2，xy0
4、，则此不等式组表示的平面区域的面积是_解析：作出可行域为如图所示的三角形，S121112.答案：12考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域例 1 2019全国卷记不等式组xy6，2xy0表示的平面区域为 D.命题 p：(x，y)D，2xy9；命题 q：(x，y)D,2xy12.下面给出了四个命题()pq 綈 pq p綈 q 綈 p綈 q这四个命题中，所有真命题的编号是()A BC D解析：由不等式组画出平面区域 D，如图阴影部分所示，在图中画出直线 2xy9，可知命题 p 正确，作出直线 2xy12,2xy12 表示直线及其下方区域，易知命题 q 错误綈 p 为假，綈 q 为真，pq 为真
5、，綈 pq 为假，p綈 q 为真，綈 p綈 q 为假.故真命题的编号为，故选 A.答案：A悟技法平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.变式练(着眼于举一反三)12020济南模拟设不等式组xy10 xy102xy20表示的平面区域为 M，若
6、直线 kxy10(kR)将区域 M 的面积分为相等的两部分，则实数 k 的值为()A.13 B.12C12D13解析：如图所示，阴影区域ABC 为不等式组xy10 xy102xy20表示的平面区域 M，因为直线 l：kxy10(kR)过定点(0,1)，所以直线 l 过点 B(0,1)又直线 l 将区域 M，即ABC 的面积分为相等的两部分，所以直线 l 需过 AC 的中点 D(2,2)，代入 kxy10，得 k12，故选 B.答案：B2已知约束条件x1，xy40，kxy0表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k 的值为()A1 B1C0 D2解析：先作出不等式组x1，xy4对应的平面区域，
7、如图：要使阴影部分为直角三角形，当 k0 时，此三角形的面积为1233921，所以不成立当k1 时，此三角形面积为12211，故选 A.答案：A考点二 求目标函数的最值分层深化型 例 2 (1)2019 全 国 卷 若 变 量 x，y 满 足 约 束 条 件 2x3y60，xy30，y20，则 z3xy 的最大值是_解析：(1)作出可行域(如图阴影部分所示)易得 A(3,0)，B(1,2)，C(0,2)将 z3xy 化为 y3xz，由图知，当直线 y3xz 经过点A(3,0)时，截距z 取得最小值，从而 z 取得最大值zmax339.答案：(1)9(2)2020重庆一中月考设点 P(x，y)是
8、图中阴影部分表示的平行四边形区域(含边界)内一点，则 zx2y 的最小值为()A6 B4C2 D1解析：(2)如图，作出直线 x2y，并平移，易知平移后的直线经过点(2,4)时，zx2y 取得最小值，将(2,4)代入 zx2y 得 z6.故选 A 项答案：(1)9(2)A悟技法1.求目标函数的最值 3 步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值2常见的 3 类目标函数(1)截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值
9、常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值(2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如 zybxa.提醒 注意转化的等价性及几何意义.同类练(着眼于触类旁通)32020广西南宁摸底已知实数 x，y 满足xy0，xy40，x4，则z4xy 的最小值为()A4 B6C12 D16解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 y4x 并平移，结合图象可知当平移后的直线经过点 A(2,2)时，z4xy 取得最小值，zmin4226.故选 B 项答案：B42020湖南重点高中联考已知 x，y 满足x2y70，xy0，xN，yN
10、，则z2xy 的最大值为()A4 B5C6 D7解析：根据题意作出不等式组x2y70，xy0，x0，y0，表示的平面区域如图中阴影部分所示，又 xN，yN，所以由图象得，z2xy 取得最大值的整数最优解为(2,2)，将(2,2)代入 z2xy 得，z6.故选 C 项答案：C变式练(着眼于举一反三)52020黑龙江鹤岗一中月考设实数 x，y 满足不等式组 xy2，yx2，y1，则 x2y2 的取值范围是()A1,2B1,4C 2，3 D2,4解析：作出不等式组xy2，yx2，y1表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知 x2y2 的几何意义为平面区域内(包括边界)点(x，y)到点(0,0)的距离的
11、平方，所以|OA|为最大距离，|OA|2，|OB|为最小距离，|OB|1，所以 x2y21,4故选 B 项答案：B62020天津南开中学月考若实数 x，y 满足yx，x4y40，xy30，则x1y 的取值范围是()A.53，11 B.111，35C.53，2D2,11解析：作出可行域如图中阴影部分所示.x1y 的几何意义是可行域内的点与点 P(1,0)连线的斜率的倒数，连接 PA，PB.由yx，xy30，得 A(32，32)，所以 kPA35.由xy30，x4y40，得 B(83，13)，所以 kPB 111.故x1y 的取值范围是53，11.故选 A 项答案：A拓展练(着眼于迁移应用)7 2
12、020 山 西 晋 中 月 考 已 知 变 量 x，y 满 足 约 束 条 件 x2y40，y2，x4yk0，且z3xy的最小值为1，则常数k_.解析：根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 3xy0，并平移，结合图象可知，当平移后的直线过点 A(x,2)时，z3xy 取得最小值1，故 3x21，解得 x1，故 A(1,2)，故142k，故 k9.答案：98 2020 湖 南 师 大 附 中 月 考 已 知 x，y 满 足 约 束 条 件 x2y20，2xy20，xy20，若 axy 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为()A.12或1 B2 或12C2 或 1 D2 或1解析：
13、由题中约束条件作可行域如图所示：令 zaxy，化为yaxz，由题意知使直线 yaxz 的纵截距取得最大值的最优解不唯一当a2 时，直线 yaxz 经过点 A(2，2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当a2 时，直线 yaxz 与 y2x2 重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当1a2 时，直线 yaxz 经过点 B(0,2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当a1 时，直线 yaxz 与 yx2 重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当a1 时，直线 yaxz 经过点 C(2,0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意综上，当 a2
14、或 a1 时最优解不唯一，符合题意.故选 C.答案：C考点三 线性规划的实际应用互动讲练型例 3 2016全国卷某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元解析：由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产
15、 y 件，则总利润 z2100 x900y，约束条件为 1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，xN，yN，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分(包括边界)中的整数点所示由 xN，yN，可知 z 取得最大值时的最优解为(60,100)，所以 zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 000悟技法1.解线性规划应用题 3 步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题(2)求解解这个纯数学的线性规划问题(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.求解线性规划应用题的 3 个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据
16、题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别注意分析 x，y 是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.变式练(着眼于举一反三)92020河北省“五个一名校联盟”考试某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15 万元B16 万元C17 万元 D18 万元解析：设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利润 z 万元，由题意可知，3x2y12，x2y8，x0，y0，z3x4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线 z3x4y 过点M 时，z3x4y 取得最大值，由3x2y12，x2y8，得x2，y3，M(2,3)，故 z3x4y 的最大值为 18，故选 D.答案：D
