1、【知识重温】一、必记 6 个知识点1公式法求和使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法2裂项相消法求和把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法3错位相减法求和(1)适用的数列：anbn，其中数列an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q1 的等比数列(2)方法：设 Sna1b1a2b2anbn(*)，则 qSna1b2a2b3an1bnanbn1(*)，(*)(*)得：(1q)Sna1b1d(b2b3bn)anbn1，就转化为根据公式可求的和4倒序相加法求和如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正
2、着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的5分组求和法求和若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和而后相加减例如已知 an2n(2n1)，求 Sn.6并项求和法求和把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性形如 an(1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解例如：Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(2
3、1)5 050.二、必明 2 个易误点1使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点2在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n21121n1 1n1.()(3)求 Sna2a23a3nan 之和时，只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序相
4、加求和法，利用此法可求得 sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()22020重庆测试在数列an中，an1an2，a25，则an的前 4 项和为()A9 B22C24 D32解析：依题意得，数列an是公差为 2 的等差数列，a1a223，因此数列an的前 4 项和等于 43432 224，选 C.答案：C32020江西新余三校联考数列an的通项公式是 an(1)n(2n1)，则该数列的前 100 项之和为()A200 B100C200 D100解析：根据题意有 S1001357911197199250100，故选 D.答案：D4函数 f(x)x2x1，求 f12 01
5、9 f22 019 f32 019 f2 0182 019 的值为()A2 018 B2 019C1 008 D1 009解析：f(x)x2x1f(1x)1x21x1 1x12x x12x1f(x)f(1x)1倒序相加得 f12 019 f22 019 f32 019 f2 0182 019 1 009.答案：D5某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN*)等于_解析：每天植树的棵数构成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，其前 n 项和 Sna11qn1q212n12 2n12.由 2n12100，得2n110
6、2，由于 2664,27128，则 n17，即 n6.答案：6考点一 分组法求和互动讲练型例 1 2019天津南开附中期中已知数列an是等比数列，满足 a13，a424，数列bn是等差数列，满足 b24，b4a3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和解析：(1)设等比数列an的公比为 q，由题意，得 q3a4a1243 8，解得 q2，an的通项公式为 ana1qn132n1，a312.设等差数列bn的公差为 d，b24，b4a312，b4b22d，1242d，解得 d4.bnb2(n2)d4(n2)44n4.故bn的通项公式为 bn4n4.(2)
7、由(1)知 an32n1，bn4n4，cnanbn32n1(4n4)从而数列cn的前 n 项和 Sn32032132n1048(4n4)312n12 n4n4232n3n(2n2)32n2n22n3.悟技法分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和(2)通项公式为 anbn，n为奇数cn，n为偶数 的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.变式练(着眼于举一反三)12020南昌模
8、拟已知数列an的前 n 项和 Sn2n12，记bnanSn(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列bn的前 n 项和 Tn.解析：(1)Sn2n12，当 n1 时，a1S121122；当 n2 时，anSnSn12n12n2n.又 a1221，an2n.(2)由(1)知，bnanSn24n2n1，Tnb1b2b3bn2(4142434n)(22232n1)2414n14 412n12 234n12n243.考点二 错位相减法求和互动讲练型例 2 2020湖南衡阳联考已知数列an，bn满足 a11，b112，2an1an12bn,2bn112anbn(nN*)(1)证明：数列anbn，
9、anbn均是等比数列；(2)记 Sn 为数列an的前 n 项和，Sn(an89 14n)，求 的值解析：(1)依题意得2an1an12bn，2bn112anbn，两式相加，得 an1bn134(anbn)，anbn为等比数列；两式相减，得 an1bn114(anbn)，anbn为等比数列(2)a11，b112，a1b132，a1b112.由(1)可得 anbn32(34)n1，anbn12(14)n1.，得 an(14)n(34)n，Sn131 14n313n4n103 13 14n3(34)n.又 Sn(an89 14n)19 14n(34)n，103，3，193.悟技法1.掌握解题“3 步
10、骤”2注意解题“3 关键”(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比 q1 和 q1 两种情况求解3谨防解题“2 失误”(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 n1 项和当作 n 项和.变式练(着眼于举一反三)22020山东青岛一模已知公比为 q 的等比数列an满足 2a1a33a2，且 a32 是 a2，a4 的等差中项(1)求 q 的值；(2)若 bn
11、anlog2an，求数列bn的前 n 项和 Sn.解析：(1)设等比数列an的公比为 q，依题意，有2a1a33a2，a2a42a32，即a12q23a1q，a1qq32a1q24，由得 q23q20，解得 q2 或 q1.代入知 q1 不成立，故舍去，所以 q2.(2)由(1)知 a12，所以 an2n，bnanlog2an2nlog22nn2n，所以 Sn2222323n2n，所以 2Sn22223324(n1)2nn2n1，两式相减得Sn2222nn2n1(1n)2n12，所以 Sn(n1)2n12.考点三 裂项相消法互动讲练型例 3 2020辽宁鞍山月考已知数列an的前 n 项和为 S
12、n，a1a24,2Sn1an12Sn3an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn3nan11Sn1，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明：38Tn12.解析：(1)2Sn1an12Sn3an，2an1an13an，an13an(nN*)，a1a24，a11，数列an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，an3n1.(2)由(1)知 Sn3n12.bn3nan11Sn1，bn23n3n13n1113n113n11，Tn(13111321)(13211331)(13n113n11)1213n11.nN*，所以13n1118，0)，381213n1112，即38Tn0，a1loga11
13、n loga(n1)logan 变式练(着眼于举一反三)32019安徽池州期末已知数列an的前 n 项和为 Sn，an23Sn13(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn1log3an1 log3an2，求数列bn的前 n 项和 Tn.解析：(1)由 an23Sn13，可得 Sn32an12，当 n2 时，Sn132an112，则anSnSn1(32an12)(32an112）32an32an1，整理得 an3an1(n2)，而 a1S132a112，即 a11，所以数列an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则 an13n13n1.故数列an的通项公式为 an3n1.(2)由(
14、1)得bn1log3an1 log3an21log33n11 log33n121n n1 n1 n，所以 Tnb1b2b3bn(21)(3 2)(4 3)(n1 n)n11.微专题(十四)与数列求和有关的综合问题例 设函数 f(x)231x(x0)，数列an满足 a11，anf1an1，nN*，且 n2.(1)求数列an的通项公式；(2)对 nN*，设 Sn 1a1a2 1a2a3 1a3a41anan1，若 Sn3t4n恒成立，求实数 t 取值范围解析：(1)由 anf1an1 得，anan123，nN*，n2，所以an是首项为 1，公差为23的等差数列所以 an123(n1)2n13，nN
15、*.(2)因为 an2n13，所以 an12n33，所以1anan192n12n39212n112n3.则 Sn 1a1a2 1a2a3 1a3a41anan1921312n3 3n2n3.故 Sn3t4n恒成立等价于 3n2n33t4n，即 t 4n22n3恒成立令 g(x)4x22x3(x0)，则 g(x)8xx32x320，所以 g(x)4x22x3(x0)为单调递增函数所以当 n1 时，4n22n3取得最小值，且4n22n3 min45.所以 t45，即实数 t 的取值范围是，45.名师点评 求解此类问题的策略(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，一般利
16、用函数的性质、图象；已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形(2)数列与不等式的恒成立问题此类问题常构造函数，通过函数的单调性、最值等解决问题(3)与数列有关的不等式证明问题解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等变式练(着眼于举一反三)2020山东淄博一中月考已知函数 f(x)axb(a0，a1)的图象经过点 P(1,3)，Q(2,5)当 nN*时，anfn1fnfn1，记数列an的前 n 项和为 Sn，当 Sn1033时 n 的值为()A4 B5C6 D7解析：f(x)的图象过点 P(1,3)，Q(2,5)，易知 f(x)2x1，an2n2n12n112n112n12n12n11 12n112n11，Sn 12112211221123112n112n111312n11，1312n111033，12n11 133，解得 n4.故选 A.答案：A
