1、第3讲导数在生活中的优化问题举例1从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm32要制作一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为()A. cm B. cmC. cm D. cm3已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为yx381x234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件4对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有()Af(0)f(2)2
2、f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)5某厂生产某种产品x件的总成本C(x)1200x3(单位:万元),又知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为()元时总利润最大()A10 B25 C30 D406已知函数f(x)x3ax2bx1(a,bR)在区间1,3上是减函数,则ab的最小值是()A. B. C2 D37(2012年福建)已知f(x)x36x29xabc,ab0;f(0)f(1)0;f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()A B C D8(2012年重庆)设函数f(x)在R上可导,其
3、导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图K431,则下列结论中一定成立的是()图K431A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)9如图K432,抛物线yx29与x轴交于两点A,B,点C,D在抛物线上(点C在第一象限),CDAB.记|CD|2x,梯形ABCD的面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式;(2)若k,其中k为常数,且0k0,由题意q2,当x100时,q50,kq2x502100250 000.q2x250 000,q.总利润y
4、xqC(x)x.令y5003x20,解得x25.当0x0;当x25时,y0,当x25时,总利润最大6C解析:f(x)x22axb在1,3上有f(x)0,设设abmunvm(2ab)n(6ab)(2m6n)a(mn)b,对照参数:2m6n1,mn1,解得m,n,abuv2,则ab的最小值为2.7C解析:f(x)x36x29xabc,abc,f(x)3x212x93(x24x3)3(x1)(x3),可得a1b30,f(3)275427abcabc0,且f(0)abcf(3)0,所以f(0)f(1)0.图D698D解析:由图象可知当x0,此时,f(x)0,函数单调递增,当2x1时,y(1x)f(x)
5、0,所以此时f(x)0,函数单调递减当1x0,此时,f(x)2时,y(1x)f(x)0,函数单调递增所以函数f(x)有极大值f(2),极小值f(2)9解:(1)依题意,得点C的横坐标为x,点C的纵坐标为yCx29.点B的横坐标xB满足方程x90,解得xB3,或xB3(舍去)所以S(|CD|AB|)yC(2x23)(x29)(x3)(x29)由点C在第一象限,得0x3.所以S关于x的函数式为S(x3)(x29),0x3.(2)由及0k1,得0x3k.记f(x)(x3)(x29),0x3k,则f(x)3x26x93(x1)(x3)令f(x)0,得x1.若13k,即k1时,f(x)与f(x)的变化情
6、况如下:x(0,1)1(1,3k)f(x)0f(x)极大值所以当x1时,f(x)取得最大值,且最大值为f(1)32.若13k,即00恒成立,所以f(x)的最大值为f(3k)27(1k)(1k2)综上所述,当k1时,S的最大值为32;当0k时,S的最大值为27(1k)(1k2)10解:(1)由已知,得f(0)2,g(0)2,f(0)4,g(0)4.而f(x)2xa,g(x)ex(cxdc),故b2,d2,a4,dc4.从而a4,b2,c2,d2.(2)由(1)知,f(x)x24x2,g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2,则F(x)2kex(x2)2x4
7、2(x2)(kex1)由题设,可得F(0)0,即k1.令F(x)0,得x1lnk,x22.若1ke2,则2x10.从而当x(2,x1)时,F(x)0;当x(x1,)时,F(x)0.即F(x)在(2,x1)单调递减,在(x1,)单调递增故F(x)在2,)的最小值为F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故当x2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立若ke2,则F(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时,F(x)0,即F(x)在(2,)单调递增而F(2)0,故当x2时,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立若ke2,则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时,f(x)kg(x)不可能恒成立综上所述,k的取值范围是1,e2