1、第3讲导数在生活中的优化问题举例1从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3 C144 cm3 D160 cm32要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A. cm B. cmC. cm D. cm3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件4对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2
2、f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)5某厂生产某种产品x件的总成本C(x)1200x3(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为()元时总利润最大()A10 B25 C30 D406已知函数f(x)x3ax2bx1(a，bR)在区间1,3上是减函数，则ab的最小值是()A. B. C2 D37(2012年福建)已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()A B C D8(2012年重庆)设函数f(x)在R上可导，其
3、导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图K431，则下列结论中一定成立的是()图K431A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)9如图K432，抛物线yx29与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上(点C在第一象限)，CDAB.记|CD|2x，梯形ABCD的面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式；(2)若k，其中k为常数，且0k0，由题意q2，当x100时，q50，kq2x502100250 000.q2x250 000，q.总利润y
4、xqC(x)x.令y5003x20，解得x25.当0x0；当x25时，y0，当x25时，总利润最大6C解析：f(x)x22axb在1,3上有f(x)0，设设abmunvm(2ab)n(6ab)(2m6n)a(mn)b，对照参数：2m6n1，mn1，解得m，n，abuv2，则ab的最小值为2.7C解析：f(x)x36x29xabc，abc，f(x)3x212x93(x24x3)3(x1)(x3)，可得a1b30，f(3)275427abcabc0，且f(0)abcf(3)0，所以f(0)f(1)0.图D698D解析：由图象可知当x0，此时，f(x)0，函数单调递增，当2x1时，y(1x)f(x)
5、0，所以此时f(x)0，函数单调递减当1x0，此时，f(x)2时，y(1x)f(x)0，函数单调递增所以函数f(x)有极大值f(2)，极小值f(2)9解：(1)依题意，得点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yCx29.点B的横坐标xB满足方程x90，解得xB3，或xB3(舍去)所以S(|CD|AB|)yC(2x23)(x29)(x3)(x29)由点C在第一象限，得0x3.所以S关于x的函数式为S(x3)(x29)，0x3.(2)由及0k1，得0x3k.记f(x)(x3)(x29)，0x3k，则f(x)3x26x93(x1)(x3)令f(x)0，得x1.若13k，即k1时，f(x)与f(x)的变化情
6、况如下：x(0,1)1(1,3k)f(x)0f(x)极大值所以当x1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1)32.若13k，即00恒成立，所以f(x)的最大值为f(3k)27(1k)(1k2)综上所述，当k1时，S的最大值为32；当0k时，S的最大值为27(1k)(1k2)10解：(1)由已知，得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x4
7、2(x2)(kex1)由题设，可得F(0)0，即k1.令F(x)0，得x1lnk，x22.若1ke2，则2x10.从而当x(2，x1)时，F(x)0；当x(x1，)时，F(x)0.即F(x)在(2，x1)单调递减，在(x1，)单调递增故F(x)在2，)的最小值为F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时，F(x)0，即F(x)在(2，)单调递增而F(2)0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上所述，k的取值范围是1，e2