1、高考资源网（） 您身边的高考专家233直线与圆的位置关系1了解直线与圆的三种位置关系2掌握直线和圆的位置关系的判断方法3会求圆的切线方程及弦长问题直线与圆的位置关系直线l：AxByC0(A2B20)，圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)，设圆心(a，b)到直线的距离是d，d，则有：位置关系相离相切相交图示公共点无只有一个两个几何法drdrdr代数法方程组无实数解即：01直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交B相切C相离 D相交且过圆心答案：B2当直线xya0与圆x2(y1)22相离时，a的取值范围是_答案：a33设直线l过点P(2，0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是_答案
2、：4直线x2y50与圆x2y28相交于A、B两点，则|AB|_解析：圆心到直线的距离为，圆的半径为2，则|AB|22答案：2直线与圆的位置关系已知直线方程为mxym10，圆的方程为x2y24x2y10当m为何值时，直线与圆：(1)有两个公共点？(2)只有一个公共点？(3)没有公共点？【解】法一：将mxym10代入圆的方程，化简整理得(1m2)x22(m22m2)xm24m40，4m(3m4)，(1)当0，即m0或m时，直线与圆相交，故直线与圆有两个公共点；(2)当0，即m0或m时，直线与圆相切，故直线与圆只有一个公共点；(3)当0，即m0时，直线与圆相离，故直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程
3、可化为(x2)2(y1)24，则圆心为(2，1)，半径长r2圆心(2，1)到直线mxym10的距离d (1)当d0或m2，即m1，所以点A在圆外(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以1，解得k所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360(2)若切线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4综上，所求切线方程为15x8y360或x4过一点求圆的切线，应首先判定点与圆的位置关系，若在圆上，则该点即为切点，若在圆外，可根据此点设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半
4、径即得切线斜率 过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，求该直线的方程解：圆x2y24x30化为标准式为(x2)2y21，圆心C(2，0)设过原点的直线方程为ykx，即kxy0因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即1所以3k21，k2，解得k因为切点在第三象限，所以k0所以所求直线方程为yx有关圆中弦的问题已知圆的方程为x2y28，圆内有一点P(1，2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程【解】(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OCAB由已知条件得直线的斜率为ktan 1351，所以直线AB的
5、方程为y2(x1)，即xy10因为圆心为(0，0)，所以|OC|因为r2，所以|BC|，所以|AB|2|BC|法二：(代数法)当135时，直线AB的方程为y2(x1)，即yx1，代入x2y28，得2x22x70所以x1x21，x1x2，所以|AB| |x1x2|(2)如图，当弦AB被点P平分时，OPAB，因为kOP2，所以kAB，所以直线AB的方程为y2(x1)，即x2y50 求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图(1)，直线l与圆C交于A，B两点，图(1)设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有d2r2, 即|AB|2(2)图(2)代数法：如图(2)所示，将直线方程与圆的方
6、程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在)几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单，故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题 已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0(1)求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)若直线l与圆C交于A、B两点，且|AB|，求m的值解：(1)证明：法一：由消去y整理，得(m21)x22m2xm250因为(2m2)24(m21)(m25)16m2200，对一切mR成立，所以直线l与圆C总有两个不同的交点法二：由已知l：mxy1m0，得y1m(x1)，故直线恒过定点P(1，1
7、)因为12(11)25，所以P(1，1)在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点(2)圆半径r，圆心(0，1)到直线l的距离为d，则d 由点到直线的距离公式，得，解得m1直线与圆的位置关系直线l：AxByC0，圆M：(xa)2(yb)2r2有两种方法判断其关系：(1)几何法：圆心M到直线l的距离d，直线与圆相交：dr(2)代数法：即求直线方程与圆的方程所组成的方程组的实数解的个数当0时，相交；当0时，相切；当0时，相离2圆的切线方程的求法(1)过圆上一点求圆的切线方程的一般步骤：求切点与圆心连线的斜率k由垂直关系得切线斜率为代入点斜式方程得切线方程(2)过圆外一点求圆的切线方程的方法：几何
8、法设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程代数法设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由0求得k，切线方程即可求出(1)当切线方程的斜率k0或k不存在时，可由图形直接得到切线方程为yb或xa(2)过圆外一点求圆的切线时必有两条，若只能求得一条直线时，要考虑另一条可能是斜率不存在的情形1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离解析：选B圆心到直线的距离d1，又因为直线yx1不过圆心(0，0)，所以选B2直线3x4y40被圆(x3
9、)2y29截得的弦长为()A2 B4C4 D2答案：C3过点M(3，2)作O：x2y24x2y40的切线，则切线方程是_解析：易知所求切线不可能垂直于x轴，故切线斜率必定存在设切线方程为y2k(x3)，即kxy23k0，由1，得k或k0，代入即可求得答案：y2或5x12y904平行于直线m：2xy10且与圆C：x2y25相切的直线l的方程是_解析：设直线l的方程是2xyb0，则圆心C(0，0)到直线l的距离，解得b5，则直线l的方程是2xy50，或2xy50答案：2xy50或2xy50学生用书P125(单独成册)A基础达标1直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交B相
10、切C相离 D不确定解析：选A由题意可知，直线mxy1m0过定点(1，1)，又因为点(1，1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆C是相交的，故选A2若直线axby1与圆x2y21相交，则点P(a，b)的位置是()A在圆上 B在圆外C在圆内 D以上都有可能解析：选B由直线axby1与圆x2y21相交知，1，可知(a，b)在圆外，故选B3直线x2被圆(xa)2y24所截得的弦长等于2，则a的值为()A1或3 B或C1或3 D或解析：选C因为弦长为2，半径r2，所以圆心(a，0)到(2，0)的距离为1，所以|a2|1所以a1或34在圆x2y22x4y30上且到直线xy10的距离为的点的个数是(
11、)A1 B2C3 D4解析：选C圆心为(1，2)，半径r2，而圆心到直线的距离d，故圆上有3个点满足题意5已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点P(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A10 B20C30 D40解析：选B如图所示，设圆的圆心为M，则M(3，4)，半径r5当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，|AC|2r10；当过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最小，此时在RtMPD中，|MD|r5，|MP|1，故|BD|24此时四边形ABCD的面积为：S|AC|BD|20，故选B6已知点A(2，0)，B(0，2)，点C是圆x2y22
12、x0上任意一点，则ABC面积的最大值是_解析：直线AB的方程是1，即xy20，|AB|2，则当ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值，又圆心M(1，0)，半径r1，点M到直线xy20的距离是由圆的几何性质得d的最大值是1，所以ABC面积的最大值是23答案：37由动点P(x，y)引圆O：x2y24的两条切线，切点为A，B，若APB90，则点P的轨迹方程是_解析：由题意知|AO|2，|PO|2，所以点P的轨迹方程是x2y28答案：x2y288已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_解析：如图所示，圆心C到直
13、线AB的距离|CD|AC|sin 60|AC|，圆心C的坐标为(1，a)，半径|AC|2，所以|CD|2，所以(2a2)23a23，解得a4答案：49已知以点A(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切，过点B(2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点(1)求圆A的方程；(2)当|MN|2时，求直线l的方程解：(1)设圆A的半径为r，因为圆A与直线l1：x2y70相切，所以r2，所以圆A的方程为(x1)2(y2)220(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x2，此时有|MN|2，即x2符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)，即k
14、xy2k0，因为Q是MN的中点，所以AQMN，所以|AQ|2r2，又因为|MN|2，r2，所以|AQ|1，解方程|AQ|1，得k，所以此时直线l的方程为y0(x2)，即3x4y60综上所得，直线l的方程为x2或3x4y6010设圆上的点A(2，3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10相交所得的弦长为2，求圆的方程解：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2由已知可知，直线x2y0过圆心，则a2b0，又点A在圆上，则(2a)2(3b)2r2，因为直线xy10与圆相交所得的弦长为2所以()2r2解由所组成的方程组得或故所求方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244B能
15、力提升11直线yxb与曲线x有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()Ab B1b1或bC1b1 D以上都不正确解析：选B如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线yxb为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意因为l1与半圆相切，所以b；当直线yxb位于l2时，b1；当直线yxb位于l3时，b1所以b的取值范围是10成立，所以m314(选做题)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(0，3)，设圆C的半径为1，圆心C(a，b)在直线l：y2x4上(1)若圆心C也在直线yx5上，求圆C的方程；(2)在上述的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)若圆C上存在点M，使|MA|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围解：(1)由得圆心C(3，2)，因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为(x3)2(y2)21(2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为ykx3，即kxy30，由1得k0或k，所以所求圆C的切线方程为y3或yx3，即y3或3x4y120(3)设M(x，y)，由|MA|MO|得 整理得y，故点M在直线m：y上所以点M既在圆C上又在直线m上，即圆C和直线m有公共点，所以1，所以a综上所述，a的取值范围为高考资源网版权所有，侵权必究！
