1、第2课时基本不等式的应用关键能力攻重难题型探究题型一均值不等式的灵活运用例1(1)已知x2，求x的最小值；(2)已知1(x0，y0)，求xy的最小值解析(1)x2，x20，xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立x的最小值为6(2)x0，y0，xy(xy)()42()448当且仅当，即xy4时取等号，xy的最小值为8归纳提升利用基本不等式求最值的策略【对点练习】 (1)若x0，求3x的最大值；(2)设x0，y0，且2x8yxy，求xy的最小值解析(1)因为x0，所以3x()(3x)212，当且仅当3x，即x2时等号成立，所以3x的最大值为12(2)解法一：由2x8yxy0，得y(x8)
2、2xx0，y0，x80，y，xyxx(x8)1021018当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18解法二：由2x8yxy及x0，y0，得1xy(xy)()1021018当且仅当，即x2y12时等号成立xy的最小值是18题型二利用基本不等式求参数范围例2已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值等于(B)A10 B9C8 D7解析因为a0，b0，所以2ab0，所以要使恒成立，只需m(2ab)()恒成立，而(2ab)()41549，当且仅当ab时，等号成立，所以m9归纳提升1恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若ay恒成立，则aymin；若ay恒成立，则aymax将问题转化为求y的最
3、值问题，可能会用到基本不等式2运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题【对点练习】 若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析因为x0，所以x2，当且仅当x1时取等号，所以有，即的最大值为，故a题型三基本不等式的实际应用例3如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？分析(1)已知a
4、b为定值，可用基本不等式求ab的最大值(2)已知ab为定值，可用基本不等式求ab的最小值解析(1)设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18设每间虎笼面积为S，则Sxy方法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即S，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长4.5m，宽3 m时，可使面积最大方法二：由2x3y18，得x9y因为x0，所以9y0，所以0y6，Sxy(9y)y(6y)y因为0y6，所以6y0，所以S2当且仅当6yy即y3时等号成立，此时x4.5故每间虎笼长4.5m，宽3 m时，可使面积最大(2)由条件知Sxy24设钢筋网总长为l，则l4x6y方法
5、一：因为2x3y2224，所以l4x6y2(2x3y)48当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小方法二：由xy24，得x所以l4x6y6y6(y)6248当且仅当y即y4时，等号成立，此时x6故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小归纳提升在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案【对点练习】 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个
6、矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？ 解析设矩形广告牌的高为x cm，宽为y cm，则每栏的高和宽分别为(x20)cm，()cm(x20，y25)，两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25，广告牌的面积Sxyx(25)25x，整理得S25(x20)18 500x200，S218 50024 500当且仅当25(x20)时等号成立，此时有(x20)214 400，解得x140，代入y25，得y175即当x140，y175时，
7、S取得最小值为24 500故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌的面积最小误区警示易错问题忽略等号成立的条件或等号成立的一致性例4已知x0，y0，且x2y1，则的最小值为(B)A1B32C3 D4错解x0，y0，1x2y2，8xy1xy，824故的最小值为4错因分析上述在求解过程中使用了两次基本不等式：x2y2，2，但这两次取等号的条件需满足x2y与xy，自相矛盾，所以等号取不到正解x2y1，x0，y0，(x2y)()332(当且仅当，即xy时，等号成立)x1，y1故当x1，y1时，有最小值，为32方法点拨连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致
8、，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立学科素养基本不等式求最值基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具例5求函数y的最大值分析把看成一个整体函数转化为用来表示找出其内在的形式特点用基本不等式来处理解析设t0，则xt22于是y(t0)当t0时，y0当t0时，y当且仅当2t，即t时，y有最大值为由，解得x即x，y有最大值为归纳提升利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值课堂检测固双基1若x5，则x的最小值为(C
9、)A6B8C9 D3解析令tx5，则t0，xt5259，当且仅当t，即t2，x7时，函数f(x)x(x5)的最小值为92设x0，y0，xy4，则的最小值为_解析xy4，()(xy)(5)，又x0，y0，则24(当且仅当时取等号)，则(54)3已知x0，y0，且x4y1，则xy的最大值为_解析xyx4y()2，当且仅当x4y时取等号4建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为_1_760_元解析设池底一边长为x m，总造价为y元则y41202(2x2)80320(x)480(x0)因为x24，当且仅当x即x2时取等号，所以ymin48032041 760(元)
