1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时平面与平面垂直1理解平面与平面垂直的定义2掌握面面垂直的判定定理及性质定理3能用定义、判定定理、性质定理解决有关垂直问题1两个平面互相垂直的定义(1)定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直(2)表示：平面，互相垂直，记作(3)画法：两个互相垂直的平面通常画成如图、所示即把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
2、垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面a1对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n解析：选C2点P是菱形ABCD所在平面外一点，且PAPC求证：平面PAC平面PBD证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC，又因为AOOC，PAPC，所以POAC因为BDPOO，所以AC平面PBD又因为AC平面PAC，所以平面PAC平面PBD3已知，l，作直线m，使ml，则m吗？解：不一定当m时，m一定垂直，如m，则m与的关系不确定面面垂直的判定如图所示，在空间四边形ABCD中，ABBC，ADDC，E，F，G分
3、别是AD，DC，CA的中点求证：平面BEF平面BDG【证明】因为E，F，G分别是AD，DC，CA的中点，且ADDC，所以DFEG，且DFDE，所以四边形EDFG为菱形，所以EFDG，又因为ABBC，AGGC，所以ACBG，又因为EFAC，所以EFBG又BGDGG，所以直线EF平面BDG，又因为EF平面BEF，所以平面BEF平面BDG在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图形中没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决在有平面垂直时，一般应用性质定理使之转化为线面垂直，即达到“线线垂直、线面垂直、面面垂直”之间的相互转化，这种垂直转化也是立体几何中解决垂直问题的重要思想 如
4、图，在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且ACBCa，求证：平面VAB平面VCD证明：因为ACBC，所以ABC是等腰三角形又D是AB的中点，所以CDAB又VC底面ABC，AB底面ABC，所以VCAB因为CDVCC，CD平面VCD，VC平面VCD，所以AB平面VCD又AB平面VAB，所以平面VAB平面VCD面面垂直的性质已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC【证明】如图，在平面PAC内作ADPC于点D，因为平面PAC平面PBC，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC，又BC平面PBC，所以ADBC因为PA平面ABC
5、，BC平面ABC，所以PABC，因为ADPAA，所以BC平面PAC，又AC平面PAC，所以BCAC证明线面垂直，除利用定义和判定定理外，另一种重要的方法是利用面面垂直的性质定理证明，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线 如图，ABC是边长为2的正三角形，若AE平面ABC，平面BCD平面ABC，BDCD，且BDCD求证：AE平面BCD证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BDCD，且BDCD，BC2，所以DM1，DMBC又因为平面BCD平面ABC，所以DM平面ABC，所以AEDM又因为AE平面BCD，DM平面BCD，所以AE平面BCD垂直关系
6、的综合应用如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA【证明】(1)如图，取EC的中点F，连接DF因为EC平面ABC，BC平面ABC，所以ECBC易知DFBC，所以DFEC在RtEFD和RtDBA中，因为EFEC，EC2BD，所以EFBD又FDBCAB，所以RtEFDRtDBA，故DEDA(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，且MNEC因为ECBD，BDEC，所以MNBD，所以N点在平面BDM内因为EC平面ABC，所以ECBN又CABN，所以BN平面ECA因为BN在平
7、面MNBD内，所以平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA(3)由第二问易知DMBN，BN平面CAE，所以DM平面ECA又DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD 证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD
8、，所以PA底面ABCD(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD(3)因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD由(1)知PA底面ABCD，所以PACD所以CD平面PAD所以CDPD因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF所以CDEF又因为CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD线线、线面、面面垂直的判定与性质定理的综合应用概述：(1)线线、线面、面面垂直间的关系(2)线线、线面、面面的垂直是
9、从低维到高维逐层推进的，其中线面垂直是纽带(3)线面垂直的判定方法运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直证明时要分清求证结论与题设1若两个平面与垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，则()AaBbCa不一定垂直于D过a的平面必垂直于过b的平面答案：C2空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBCD平面ADC平面DBC解析：选D因为ADBC，ADBD，BCBDB，所以AD平面BCD又因为AD平面ADC，所以平
10、面ADC平面DBC3在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是解析：如图所示，平面AD1C平面BB1D1D答案：垂直4如图，已知PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中面面垂直的共有对答案：3 学生用书P99(单独成册)A基础达标1已知平面、，则下列命题中正确的是()A，则B，则Ca，b，则abD，a，ab，则b解析：选BA中，可以相交；C中如图：a与b不一定垂直；D中b仅垂直于的一条直线a，不能判定b2下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如
11、果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析：选D如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其它与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的3如图所示，在立体图形DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABC平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：选C因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，所以AC平面BDE，因为AC平面ABC，AC平面ADC所以平面ABC平面BDE，平面ADC平面B
12、DE4如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：选D由已知得BAAD，CDBD，又平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，从而CDAB，故AB平面ADC又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC5如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A一条线段B一条直线C一个圆D一个圆，但要去掉两个点解析：选D
13、因为平面PAC平面PBC，ACPC，平面PAC平面PBCPC，AC平面PAC，所以AC平面PBC又因为BC平面PBC，所以ACBC所以ACB90所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点6长方体ABCDA1B1C1D1中，MN平面BCC1B1，且MNBC于M，则MN与AB的位置关系是解析：由面面垂直的性质定理知，MN平面ABCD，因为AB平面ABCD所以MNAB答案：垂直7如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB解析：因为侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，所以PA平面ABC，所以PAAB，所以PB答案：8如图，已知六
14、棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，下列结论：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45其中正确的有(把所有正确的序号都填上)解析：由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，由正六边形的性质得AEAB，又PAABA，所以AE平面PAB，又PB平面PAB，所以AEPB，正确；由题意得平面PAD平面ABC，所以平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，所以BC平面PAD，所以直线BC平面PAE不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，所以PDA45，所以正确答案：9如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面
15、ABCD，ABAD，BAD60，E、F分别是AP、AD的中点，求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD证明：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，所以EFPD，又因为PD平面PCD，EF平面PCD，所以直线EF平面PCD(2)因为ABAD，BAD60，F是AD的中点，所以BFAD，又平面PAD平面ABCD，面PAD面ABCDAD，所以BF平面PAD，又因为BF平面BEF所以平面BEF平面PAD10在斜三棱柱A1B1C1ABC(侧棱与底面不垂直)中，底面是等腰三角形，ABAC，侧面BB1C1C底面ABC若D是BC的中点(1)求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线B
16、C1的平面交侧棱于M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C证明：(1)因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC，因为底面ABC侧面BB1C1C，所以AD侧面BB1C1C，所以ADCC1(2)如图，取BC1的中点E，连接ME，DE因为D为BC的中点，所以DECC1，DECC1因为AA1CC1，AA1CC1，且M为AA1的中点，所以AMCC1且AMCC1所以DEAM，DEAM，所以四边形ADEM是平行四边形，所以EMAD因为AD平面BB1C1C，所以EM平面BB1C1C又EM截面MBC1，所以截面MBC1侧面BB1C1CB能力提升11已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线AC
17、l，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACmCAB DAC解析：选D如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，故选D12在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为解析：连接CM，则由题意知PC平面ABC，可得PCCM，所以PM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在ABC中，当CMAB时CM有最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2答案：213如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：(1)PA平面BDE；(2)平面PAC平
18、面BDE证明：(1)连接EO，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又E是PC的中点所以EOPA因为EO平面BDE，PA平面BDE，所以PA平面BDE(2)因为PO平面ABCD，BD平面ABCD，所以POBD因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD因为POACO，AC平面PAC，PO平面PAC，所以BD平面PAC，又BD平面BDE，所以平面PAC平面BDE14(选做题)如图，在ABC中，ACBCAB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点(1)求证：GF平面ABC(2)求证：平面EBC平面ACD(3)求几何体A-DEBC的体积V解：(
19、1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH因为G，F分别是EC和BD的中点，所以GHBC，HFDE又因为四边形ADEB为正方形，所以DEAB，从而HFAB所以HF平面ABC，GH平面ABC又因为GHHFH，所以平面HGF平面ABC所以GF平面ABC(2)证明：因为四边形ADEB为正方形，所以EBAB又因为平面ABED平面ABC，所以BE平面ABC所以BEAC又因为CA2CB2AB2，所以ACBC又因为BEBCB，所以AC平面EBC又因为AC平面ACD，从而平面EBC平面ACD(3)取AB的中点N，连接CN，因为ACBC，所以CNAB，且CNABa又平面ABED平面ABC，所以CN平面ABED因为C-ABED是四棱锥，所以VC-ABEDS正方形ABEDCNa2aa3即几何体A-DEBC的体积Va3高考资源网版权所有，侵权必究！
