1、目 录 Contents 考情精解读 考点1考点2A.知识全通关 B.题型全突破考法1考法2考情精解读 考纲解读 命题趋势 命题规律 考情精解读 1 数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 考试大纲 011.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.考纲解读 命题规律 考情精解读 2 命题趋势 考点 2016全国 2015全国 2014全国 自主命题区域 定积分的计算【3%】定积分的应用【20%】2015天津,11,5分 2014山东,6,5分 数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 考纲解读 命题规律 考情精解读 3 返回目录 1.热
2、点预测 虽然近三年全国卷对本讲没有考查,但是利用定积分求平面图形面积、定积分的计算仍是重点,题型多为选择题或填空题,分值5分.2.趋势分析 预计2018年高考定积分与几何概型、二项式定理、不等式等的综合是命题的新趋势.命题趋势 数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 知识全通关 知识全通关 1 考点一 定积分 继续学习 1.定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲,即求曲边梯形的面积时,将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形,用小矩形近似代替,利用矩形面积逼近求出曲边梯形的面积.这一步骤为分割近似代替求和取极限.2.定积分的概念一般地,设函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0 x1
3、xi-1xixn=b将区间a,b 等分为n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式=1f(i)x=i=1n f(i).当n时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作 f(x)dx,即 f(x)dx=lim+=1 f(i)._ 数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 知识全通关 2 其中f(x)叫作被积函数,区间a,b叫作积分区间,a叫作积分下限,b叫作积分上限,x叫作积分变量,f(x)dx叫作被积式.说明 定积分 f(x)dx不是一个函数式,而是一个数值(极限值),它只与被积函数以及积分区间有关,而与积分变量无关,即
4、 f(x)dx=f(t)dt=f(u)du.3.定积分的几何意义设函数y=f(x)在区间a,b上连续且恒有f(x)0,则定积分 f(x)dx表示由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.4.定积分的性质(1)kf(x)dx=k f(x)dx(k为常数);(2)f1(x)f2(x)dx=f1(x)dx f2(x)dx;(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中acb).继续学习 数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 知识全通关 3 继续学习 说明 根据定积分的定义及性质可知,函数在一个区间上的定积分可分解为多个子区间上的定积分的和,所以求分段函
5、数的定积分,可以先确定不同区间上的函数解析式,然后根据定积分的性质(3)进行计算.数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 5.定积分的物理意义(1)变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s=v(t)dt;如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s=-v(t)dt.(2)变力做功问题物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与力F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a0时,曲边梯形在x轴的上方,定积分的值为正值
6、,则 f(x)dx为曲边梯形的面积.(2)当f(x)0,a1)f(x)的一个 原函数F(x)ln|x|被积函数 f(x)sin x cos x ln x f(x)的一个 原函数F(x)-cos x sin x tan x xln x-x 常见被积函数的原函数 题型全突破 考法1 求定积分 继续学习 题型全突破 1 考法指导 求解定积分的思路与方法:(1)找出被积函数,进行化简,即把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差,对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,写成分段函数;(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差,若被积函数为分段函数的定积
7、分,依据定积分“对区间的可加性”转化为分段积分;(3)分别用求导公式找出F(x),使得F(x)=f(x);(4)利用牛顿-莱布尼茨公式求出各个定积分的值;(5)计算所求定积分的值.数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 继续学习 题型全突破 2 考法示例1 计算下列定积分:(1)122dx;(2)0cos xdx;(3)13(2x-12)dx.思路分析 求出被积函数的原函数即可.解析(1)因为(ln x)=1,所以 122dx=2 121dx=2ln x|12=2(ln 2-ln 1)=2ln 2.(2)因为(sin x)=cos x,所以 0cos xdx=sin x|0=sin-sin
8、 0=0.(3)因为(x2)=2x,(1)=-12,所以 13(2x-12)dx=132xdx+13(-12)dx=x2|13+1|13=223.数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 继续学习 题型全突破 3 考法示例2 利用定积分的几何意义计算下列定积分:(1)011(1)2dx;(2)55(3x3+4sin x)dx.思路分析 画出被积函数的图象,根据定积分的几何意义求解.解析(1)根据定积分的几何意义,可知 011(1)2dx表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的14(如图3-3-3中阴影部分).数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 图3-3-3题型全突破 4 故 011(
9、1)2dx=4.(2)55(3x3+4sin x)dx表示直线x=-5,x=5,y=0和曲线y=3x3+4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和,且在x轴上方的面积前加正号,在x轴下方的面积前加负号.设y=f(x)=3x3+4sin x,则f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x),所以f(x)=3x3+4sin x在-5,5上是奇函数.所以 05(3x3+4sin x)dx=-05(3x3+4sin x)dx.所以 55(3x3+4sin x)dx=05(3x3+4sin x)dx+05(3x3+4sin x)dx=0.继续学习 数学 第三章第三讲 定
10、积分与微积分基本定理 继续学习 题型全突破 5 1.当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图象与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.2.设函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则由定积分的几何意义和奇偶函数图象的对称性可得两个结论:(1)若f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 0f(x)dx;(2)若f(x)是奇函数,则 f(x)dx=0.数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 【突破攻略】继续学习 题型全突破 6 考法指导 1.求图形的面积 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)求出曲线的交点坐标
11、,确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.求解时,注意要把定积分与利用定积分计算的图形面积区别开:定积分是一个数值(极限值),可为正,可为负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正.2.求变速运动的路程和变力做的功详见教材.定积分的物理意义.考法二 定积分的应用 数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 题型全突破 7 考法示例3 求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积.思路分析 求出两曲线的交点坐标,可将所围成的平面图形进行适当的分割,利用定积分的几何意义转化 解析 如图3-3-4所示,解方程组 2=2,=4,得两交点为(2,-2
12、),(8,4).解法一 选取横坐标x为积分变量,则图3-3-4中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和,即S=2 02 2dx+28(2-x+4)dx=18.解法二 选取纵坐标y为积分变量,则图3-3-4中阴影部分的面积S=42(y+4-12y2)dy=18.继续学习 数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 图3-3-4题型全突破 8 继续学习 1.利用定积分求解曲边图形的面积,关键把握住两点:一是准确确定被积函数,一般的原则是“上”-“下”,即根据曲边图形的结构特征,用上方曲线对应的函数解析式减去下方曲线对应的函数解析式;二是准确确定定积分的上下限,应为曲边图形左右两边对应的点的横坐标,上
13、下限的顺序不能颠倒.2.设阴影部分的面积为S.则对如图3-3-5所示四种情况分别有:数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 【突破攻略】题型全突破 9 继续学习(1)S=f(x)dx;(2)S=-f(x)dx;(3)S=f(x)dx-f(x)dx;(4)S=f(x)dx-g(x)dx=f(x)-g(x)dx.数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 图3-3-5 考法示例4 2013湖北高考一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 A.1+25ln 5B.8+25ln113C.4+25ln 5D.4+50ln 2解析 令v(t)=0,得7-3t+251+=0,解得t=4或t=-83(舍去),所以行驶的距离s=40 v(t)dt=40(7-3t+251+)dt=7t-32t2+25ln(1+t)|04=74-3242+25ln 5=4+25ln 5.题型全突破 10 继续学习 数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理 题型全突破 11 继续学习 答案 C点评 物体沿直线朝一个方向运动的路程问题,只需对速度求定积分,积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间.数学 第三章第三讲 定积分与微积分基本定理
