1、【知识重温】一、必记 4 个知识点1平面向量的数量积的定义(1)已知两个_ a、b，过 O 点作OA a，OB b，则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的_很显然，当且仅当两非零向量 a、b 同方向时，_，当且仅当 a、b 反方向时，_，特别地，0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题(2)如果 a，b 的夹角为 90，则称 a 与 b 垂直，记作_.非零向量夹角0180ab(3)a，b 是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积记作 ab，即 ab_.规定 0a0.当 ab 时，90，这时_.(4)ab 的几何意义ab 等于 a 的长度与 b 在
2、a 的方向上的_|a|b|cos ab0投影的乘积2向量数量积的性质(1)如果 e 是单位向量，则 aeea_(2)ab_且 ab0_.(a，b 为非零向量)(3)aa_，|a|_.(4)cosa，b_.(5)|ab|_|a|b|.|a|cosa，eab0ab|a|2aaab|a|b|3数量积的运算律(1)交换律 ab_.(2)分配律(ab)c_.(3)对 R，(ab)_4数量积的坐标运算设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则(1)ab_.(2)ab21_.(3)|a|22 _.(4)cosa，b23_.baacbc(a)ba(b)a1b1a2b2a1b1a2b20a21a22a1b1a2
3、b2a21a22 b21b22二、必明 2 个易误点1若 a，b，c 是实数，则 abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量 a，b，c，若满足 abac(a0)，则不一定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量2数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个向量的数量积是一个向量()(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量()(3)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()(4)若 ab0，则 a0 或 b0.()(5)(ab)ca(bc
4、)()(6)若 abac(a0)，则 bc.()22015全国卷向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2解析：法一 a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二 a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1.答案：C32016全国卷已知向量BA12，32，BC 32，12，则ABC()A30 B45C60 D120解析：由两向量的夹角公式，可得 cosABC BABC|BA|BC|12 32 32 1211 32，则ABC30.答案：A4教材改编已知向量 a 与 b
5、 的夹角为3，|a|2，则 a 在 b方向上的投影为()A.3 B.2C.22D.32解析：a 在 b 方向上的投影为|a|cosa，b 2cos3 22.选 C.答案：C52020合肥检测不共线向量 a，b 满足|a|b|，且 a(a2b)，则 a 与 b 的夹角为_解析：设 a、b 的夹角为，0，由 a(a2b)得 a(a2b)|a|22ab|a|22|a|2cos 0，解得 cos 12，故 3.答案：3考点一 平面向量的数量积自主练透型12019全国卷已知AB(2,3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC()A3 B2C2 D3解析：因为BCACAB(1，t3)，所以|BC|1t3
6、21，解得 t3，所以BC(1,0)，所以ABBC21302，故选C.答案：C22018全国卷已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A4 B3C2 D0解析：a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.故选 B.答案：B32020河北衡水中学三调在ABC 中，AB3，AC2，BD12BC，则AD BD()A52B.52C54D.54解析：BD 12BC，AD AB12(ACAB)，AD 12AC12AB.又BCACAB，BD ACAB2，AD BD AC 2AB 2454.故选 C 项答案：C悟技法平面向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的
7、模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.考点二 平面向量数量积的性质(高频考点)互动讲练型考向一：平面向量的模例 1(1)2020潍坊模拟已知单位向量 e1，e2，且e1，e23，若向量 ae12e2，则|a|_.解析：(1)因为|e1|e2|1，e1，e23，所以|a|2|e12e2|214|e1|e2|cos34|e2|214111243，即|a|3.答案：(1)3(2)2020郑州
8、测试已知向量 a，b 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则|a3b|等于()A.7 B.10C.13 D4解析：(2)依题意得 ab12，|a3b|a29b26ab 13，故选 C.答案：(2)C考向二：平面向量的夹角例 2(1)2020石家庄检测若两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|b|，则向量 ab 与 a 的夹角为()A.6B.3C.23D.56解析：(1)|ab|ab|，|ab|2|ab|2，ab0.又|ab|2|b|，|ab|24|b|2，|a|23|b|2，|a|3|b|，cosab，aaba|ab|a|a2ab|ab|a|a|22|b|a|a|2|b|32，故 ab 与
9、 a 的夹角为6.答案：(1)A(2)2019全国卷已知向量 a(2,2)，b(8,6)，则 cosa，b_.解析：(2)由题意知 cosa，b ab|a|b|28262222 8262 210.答案：(2)210考向三：平面向量的垂直例 3(1)2020四川绵阳一诊已知向量 a(1,2)，b(x,1)，若 ab，则 x()A2 B2C1 D1解析：(1)a(1,2)，b(x,1)且 ab，abx20，x2.故选 B 项答案：(1)B(2)2019全国卷已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A.6B.3C.23 D.56解析：(2)解法一 因为(a
10、b)b，所以(ab)bab|b|20，又因为|a|2|b|，所以 2|b|2cosa，b|b|20，即 cosa，b12，又a，b0，所以a，b3，故选 B.解法二 如图，令OA a，OB b，则BAOA OB ab，因为(ab)b，所以OBA90，又|a|2|b|，所以AOB3，即a，b3.故选 B.答案：(2)B悟技法平面向量数量积应用的技巧1求两向量的夹角，cos ab|a|b|，要注意 0，2两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.3求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|aa及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算(2)几何法
11、：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.变式练(着眼于举一反三)12020辽宁葫芦岛六中月考已知 a(2sin 13，2sin 77)，|ab|1，a 与 ab 的夹角为3，则 ab()A2 B3C4 D5解析：a(2sin 13，2sin 77)(2sin 13，2cos 13)，|a|2，又|ab|1，a 与 ab 的夹角为3，a(ab)1，即 a2ab1，ab3.故选 B 项答案：B22020安徽合肥一模若非零向量 a，b 满足 a(a2b)，则|ab|b|_.解析：通解 a(a2b)，a(a2b)0，a22ab0，|ab|2
12、a22abb2b2，|ab|b|，|ab|b|1.优解 如图，在OAB 中，点 C 为 AB 的中点，令OA a，OB a2b，则AB2b，a(a2b)，OAOB，OC ab，|ab|b|，|ab|b|1.答案：1考点三 平面向量与三角函数互动讲练型例 4 2017江苏卷已知向量 a(cos x，sin x)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值解析：(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3，3)，ab，所以 3cos x3sin x.若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛
13、盾，故 cos x0.于是 tan x 33.又 x0，所以 x56.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，3)3cos x 3sin x2 3cosx6.因为 x0，所以 x66，76，从而1cosx6 32.于是，当 x66，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；当 x6，即 x56 时，f(x)取到最小值2 3.悟技法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函
14、数在定义域内的有界性，求值域等.变式练(着眼于举一反三)32020临沂模拟已知向量 m(sin 2，cos)，n(sin，cos)，其中 R.(1)若 mn，求角；(2)若|mn|2，求 cos 2 的值解析：(1)若 mn，则 mn0，即为sin(sin 2)cos20，即 sin 12，可得 2k6或 2k56，kZ.(2)若|mn|2，即有(mn)22，即(2sin 2)2(2cos)22，即为 4sin248sin 4cos22，即有 88sin 2，可得 sin 34，即有 cos 212sin212 91618.微专题(十一)三角形的“心”的向量表示及应用1三角形各心的概念介绍重心
15、：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成2:1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等2三角形各心的向量表示(1)O 是ABC 的重心OA OB OC 0；(2)O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA；(3)O 是ABC 的外心|OA|OB|OC|(或 OA2OB 2OC 2)；(4)O 是ABC 的内心OA AB|AB|AC|AC|OB BA|B
16、A|BC|BC|OC CA|CA|CB|CB|0.注意 向量 AB|AB|AC|AC|(0)所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在直线)专题一 将平面向量与三角形外心结合考查例 1 若 O 为ABC 内一点，|OA|OB|OC|，则 O 是ABC的()A内心 B外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知 O 到ABC 的三顶点距离相等，故 O是ABC 的外心，故选 B.答案：B专题二 将平面向量与三角形垂心结合考查例 2 点 P 是ABC 所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则点 P 是ABC 的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：由PAPBPBPC，得PAPBPBPC0，即
17、PB(PAPC)0，即PBCA0，则 PBCA.同理 PABC，PCAB，所以 P 为ABC 的垂心故选 D.讲评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合答案：D专题三 将平面向量与三角形内心结合考查例 3 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：因为 AB|AB|是向量AB方向上的单位向量，设AB
18、与AC 方向上的单位向量分别为 e1 和 e2，又OP OA AP，则原式可化为AP(e1e2)，由菱形的基本性质可知 AP 平分BAC，那么在ABC中，AP 平分BAC，故选 B.答案：B专题四 将平面向量与三角形重心结合考查例 4 点 P 是ABC 所在平面内任一点G 是ABC 的重心PG 13(PAPBPC)解析：PG PAAG PBBG PCCG，3PG(AG BG CG)(PAPBPC)点 G 是ABC 的重心，GA GB GC 0.AG BG CG 0，即 3PG PAPBPC.由此得PG 13(PAPBPC)反之亦然(证略)专题五 将平面向量与三角形四心结合考查例 5 已知向量OP1，OP2，OP3 满足条件OP1 OP2 OP3 0，|OP1|OP2|OP3|1，求证：P1P2P3 是正三角形证明：由已知条件可得OP1 OP2 OP3，两边平方，得OP1 OP2 12.同理OP2 OP3 OP3 OP1 12.|P1P2|P2P3|P3P1|3.从而P1P2P3 是正三角形
