1、2015-2016学年广西河池市高二（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题“xR，sinx+cosx”的否定是（）AxR，sinx+cosxBxR，sinx+cosxCxR，sinx+cosxDxR，sinx+cosx2设ab0，c0，则下列不等式恒成立的为（）ABacbcCD3下列各组空间向量相互垂直的是（）A =（0，1，2），=（2，0，1）B =（3，1，1），=（1，0，3）C =（0，1，2），=（0，2，4）D =（3，1，1），=（3，1，1）4在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，A=，C=
2、，a=2，则b等于（）A4B2C3D25在公差为d的等差数列an中，a1=2，d，则数列an的前n项和为Sn中最小的是（）AS5BS6CS7DS86“x2或x5”是“x27x+100”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7抛物线y=的焦点为F，点P在抛物线上，点O为坐标原点，若|PF|=5，则|PO|等于（）A6B5C5D48已知数列an中，a1=2， =3，若an100，则n的最大值为（）A4B5C6D79已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=ax+y（a0）取得最小值时的最优解有无穷个，则实数a等于（）A1BCD210在ABC中，角A，B，C的对边分别
3、是a，b，c，面积为S，若Sab，b2+ac=a2+c2，则a：b：c等于（）A3：4：5B1：1：C1：D1：211如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BAD=ADC=90，E为CB的中点，AB=PA=AD=2CD，则PA与平面PDE所成的角的正弦值为（）ABCD12已知点P（1，）是椭圆+=1上一点，点A，B是椭圆上两个动点，满足+=3，则直线AB的斜率为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在数列an中，若a1=1，an+1=an+，则a4=14在ABC中，若A=， =2，则ABC的面积S=15已知点F（，0）是双曲线=1（a
4、0，b0）的右焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离等于2，则过点F且与此双曲线只有一个交点的直线方程为16给出以下命题：方程4x28x+3=0的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率；若向量=（m，2，3）与=（5，m2，1）的夹角为锐角，则m3；在正项等差数列an中， +=1；当x0时，函数f（x）=x2+8x+22的最小值是4其中正确命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知p：0m3，q：（m2）（m4）0，若pq为假，pq为真，求实数m的取值范围18已知双曲线M：=1与抛物线N：y2=2px（p0）的一个交点为A（4，m）（1）求抛物
5、线N的标准方程；（2）设双曲线M在实轴上的顶点为C、D，求的值19已知数列an的前n项和Sn满足Sn=n2+n，数列bn满足b1=1，bn+1=（）an（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若数列an满足cn=an（bn+1），求数列cn的前n项和Tn20在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使ABC面积最大时a，b的值21如图，四棱锥BADEF中，平面ABD平面ADEF，其中ABAD，ADEF为梯形，AFDE，AFFE，AF=AD=2，DE=1（1）若C是线段DF的中点，求证：DF平面ABC；（2）若二面角ABFD的平面角的余弦值为，
6、求AB的长22已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值2015-2016学年广西河池市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题“xR，sinx+cosx”的否定是（）AxR，sinx+cosxBxR，sinx+cosxCxR，sinx+cosxDxR，sinx+cosx【考点】命题的否定【分析】由带量词的命题
7、否定规则可得【解答】解：命题“xR，sinx+cosx”是一个全称命题，又全称命题的否定是特称命题，原命题的否定为“R，sinx+cosx”故选：D2设ab0，c0，则下列不等式恒成立的为（）ABacbcCD【考点】不等式的基本性质【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【解答】解：ab0，c0， ，ac与bc，与的大小关系与c的正负有关系，故选：C3下列各组空间向量相互垂直的是（）A =（0，1，2），=（2，0，1）B =（3，1，1），=（1，0，3）C =（0，1，2），=（0，2，4）D =（3，1，1），=（3，1，1）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【分析】根据=0，即
8、可判断成立【解答】解：对于A， =0+0+2=20，不成立；对于B， =3+0+3=0，成立；对于C， =0+28=60，不成立；对于D， =911=110，不成立故选：B4在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，A=，C=，a=2，则b等于（）A4B2C3D2【考点】正弦定理【分析】由已知利用三角形内角和定理可得B的值，利用正弦定理即可求b的值【解答】解：A=，C=，a=2，B=AC=，由正弦定理可得：b=4故选：A5在公差为d的等差数列an中，a1=2，d，则数列an的前n项和为Sn中最小的是（）AS5BS6CS7DS8【考点】等差数列的前n项和【分析】由题意和等差数列的性质可得前5项
9、为负数，从第6项开始为正数，可得结论【解答】解：在公差为d的等差数列an中，a1=2，d，数列an是递增数列，a5=a1+4d0，a6=a1+5d0，等差数列an中前5项为负数，从第6项开始为正数，数列an的前n项和为Sn中最小的是S5，故选：A6“x2或x5”是“x27x+100”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】x27x+100，解得x5或x2即可判断出结论【解答】解：x27x+100，解得x5或x2“x2或x5”是“x27x+100”的必要不充分条件故选：B7抛物线y=的焦点为F，点P在抛物线上，点O为
10、坐标原点，若|PF|=5，则|PO|等于（）A6B5C5D4【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设出P的坐标，运用抛物线的定义，可得|PF|=d（d为P到准线的距离），求出P的坐标，即可得到所求值【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F（0，1），准线l为y=1，设抛物线的点P（m，n），则由抛物线的定义，可得|PF|=d（d为P到准线的距离），即有n+1=5，解得，n=4，P（4，4），|PO|=4故选：D8已知数列an中，a1=2， =3，若an100，则n的最大值为（）A4B5C6D7【考点】数列递推式【分析】=3，可得数列an1是公比为3，首项为1的等比数列，利用等
11、比数列的通项公式即可得出【解答】解：=3，数列an1是公比为3，首项为1的等比数列，an=3n1+1，a5=82，a6=244，an100，则n的最大值为5故选：B9已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=ax+y（a0）取得最小值时的最优解有无穷个，则实数a等于（）A1BCD2【考点】简单线性规划【分析】由题意作出可行域，变形目标函数，平移直线y=ax，结合直线重合斜率相等可得结论【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图ABC），变形目标函数可得y=ax+z，a0，平移直线y=ax可知，当直线和AB（即直线x+2y2=0）重合时，会使得目标函数取得最小值时的最优解有无穷个，故a=，解得
12、a=故选：C10在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，若Sab，b2+ac=a2+c2，则a：b：c等于（）A3：4：5B1：1：C1：D1：2【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用三角形面积公式表示出S，代入已知不等式确定出sinC的值，进而求出C度数，利用余弦定理列出关系式，求出B的度数，进而确定出A的度数，求出a，b，c的比值即可【解答】解：S=absinC，且Sab，absinCab，即sinC1，1sinC1，sinC=1，即C=，b2+ac=a2+c2，即a2+c2b2=ac，cosB=，即B=，在RtABC中，A=，即a=c，则a：b：c=1：2，故选：D11
13、如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BAD=ADC=90，E为CB的中点，AB=PA=AD=2CD，则PA与平面PDE所成的角的正弦值为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【分析】以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA与平面PDE所成的角的正弦值【解答】解：以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），D（2，0，0），B（2，1，0），E（1，0），A（0，0，0），=（0，0，2），=（2，0，2），=（1，0），设平面PDE的一个法向量为
14、=（a，b，c），则，取a=3，得=（3，2，3），设PA与平面PDE所成的角为，sin=PA与平面PDE所成的角的正弦值为故选：C12已知点P（1，）是椭圆+=1上一点，点A，B是椭圆上两个动点，满足+=3，则直线AB的斜率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由向量知识求出，把A，B代入椭圆方程，利用点差法能求出直线AB的斜率【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），+=3，点P（1，），=3（1，），把A，B代入椭圆方程，得：，两式相减，得：3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，=，x1+x2=1，=故选：A二
15、、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在数列an中，若a1=1，an+1=an+，则a4=【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由a1=1，an+1=an+，可得a2=a1+=2，同理可得：a3，a4【解答】解：a1=1，an+1=an+，a2=a1+=2，同理可得：a3=，a4=故答案为：14在ABC中，若A=， =2，则ABC的面积S=【考点】平面向量数量积的运算【分析】先根据向量的数量积公式求出|=4，再根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：ABC中，A=， =2，=|cos=2，|=4，S=|sinA=4=故答案为：15已知点F（，0）是双曲线=1（a0，b0）的右焦点
16、，且点F到双曲线的渐近线的距离等于2，则过点F且与此双曲线只有一个交点的直线方程为y=2x2或y=2x+2【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线=1的渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得b=2，解方程可得a=1，求得渐近线的斜率，由直线与渐近线平行时只有一个交点，可得所求直线的方程【解答】解：设双曲线=1的渐近线方程为y=x，由题意可得c=，即a2+b2=5，点F到双曲线的渐近线的距离等于2，即为=2，解得b=2，a=1，双曲线的方程为x2=1，渐近线方程为y=2x，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点即有直线的方程为y=2（x）故答案为：y=2x2或y=2x+2
17、16给出以下命题：方程4x28x+3=0的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率；若向量=（m，2，3）与=（5，m2，1）的夹角为锐角，则m3；在正项等差数列an中， +=1；当x0时，函数f（x）=x2+8x+22的最小值是4其中正确命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】求出方程的根，结合椭圆和双曲线离心率的关系进行判断根据向量数量积的应用进行求解根据等差数列的性质进行求解利用换元法结合基本不等式以及一元二次函数的性质进行求解【解答】解：由4x28x+3=0得x=或x=，即方程的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率；故正确，若向量=（m，2，3）与=（5，m2，1）的夹角为锐角，则
18、0，（两个向量方向不相同），5m2m2+30，即2m25m30，得m3；故正确，在正项等差数列an中， +=1，故正确；当x0时，函数f（x）=x2+8x+22=（x+）28（x+）+20，设t=x+，则t2，此时函数等价为y=t28t+20=（t4）2+4，故当t=4时，函数取得的最小值4，故正确，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知p：0m3，q：（m2）（m4）0，若pq为假，pq为真，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】先求出关于q中m的范围，结合pq为假，pq为真，从而求出m的范围即可【解答】解：对q：由（m2）
19、（m4）0，解得：2m4，pq为假，pq为真，p，q一真一假，若p真q假，则0m2，若p假q真，则3m4，m0，2）（3，418已知双曲线M：=1与抛物线N：y2=2px（p0）的一个交点为A（4，m）（1）求抛物线N的标准方程；（2）设双曲线M在实轴上的顶点为C、D，求的值【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）将A的坐标代入双曲线的方程，可得m，再将A的坐标代入抛物线的方程可得p，即可得到抛物线的方程；（2）求得双曲线的顶点C，D的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：（1）将A（4，m）代入双曲线的方程可得=1，解得m=，再将A（4，），代入抛物线的方程可得15=
20、8p，解得p=，则y2=x；（2）双曲线M在实轴上的顶点为C（2，0）、D（2，0），又A（4，m），则=（24，m）（24，m）=（6）（2）+m2=12+15=2719已知数列an的前n项和Sn满足Sn=n2+n，数列bn满足b1=1，bn+1=（）an（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若数列an满足cn=an（bn+1），求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由n=1时，a1=S1；n1时，an=SnSn1，可得数列an的通项公式；再由指数的运算性质，可得数列bn的通项公式；（2）求得cn=an（bn+1）=2n2n=n2n+1，再由数列的求和方法：错
21、位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和【解答】解：（1）n=1时，a1=S1=2；n1时，an=SnSn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，对n=1也符合，则数列an的通项公式为an=2n；bn+1=（）an，即有bn+1=2n，可得bn=2n1；（2）cn=an（bn+1）=2n2n=n2n+1，数列an的前n项和Tn=122+223+324+n2n+1，2Tn=123+224+325+n2n+2，两式相减可得，Tn=22+23+24+2n+1n2n+2，=n2n+2，化简可得，Tn=（n1）2n+2+420在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）
22、求角C的大小，（2）若c=2，求使ABC面积最大时a，b的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可【解答】解：（1）A+C=B，即cos（A+C）=cosB，由正弦定理化简已知等式得： =，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+
23、cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosC=，C为三角形内角，C=；（）c=2，cosC=，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即4=a2+b2+ab2ab+ab=3ab，ab，（当且仅当a=b时成立），S=absinC=ab，当a=b时，ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，ABC的面积最大为21如图，四棱锥BADEF中，平面ABD平面ADEF，其中ABAD，ADEF为梯形，AFDE，AFFE，AF=AD=2，DE=1（1）若C是线段DF的中点，求证：DF平面ABC；（2）若二面角ABFD的平面角的余弦值为，求AB的长【考点】二面角的平面角及求法；
24、直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出ACDF，ABAD，从而AB平面ADEF，进而ABDF，由此能证明DF平面ABC（2）设AB=a，以F为原点，AF为x轴，FQ为y轴，过F作平面ADEF的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB的长【解答】证明：（1）在直角梯形ADEF中，AD=AF=2，C是线段DF的中点，ACDF，又平面ABD平面ADEF，ABAD，AB平面ADEF，DF平面ADEF，ABDF，又ABAC=A，DF平面ABC解：（2）设AB=a，以F为原点，AF为x轴，FQ为y轴，过F作平面ADEF的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，0），A（2，0，0），E
25、（，0，0），D（1，0），B（2，0，a），=（1，0），=（2，0，a），EF平面ABF，平面ABF的法向量为=（0，1，0），设平面BFD的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（），二面角ABFD的平面角的余弦值为，|cos|=，解得a=，AB=22已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出（2）当直线
26、l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，由0，化为2+4k2m20，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）可得x0=x1+x2，y0=y1+y2代入椭圆方程利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d=即可得出当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1即可得出【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，解得a=2，b2=2，椭圆M的方程为（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，=16k2m24（1+2k2）（2m24）0，化为2+4k2m20，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=点P在椭圆M上，+=1，化为2m2=1+2k2，满足0又点O到直线l的距离d=当且仅当k=0时取等号当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（2，0），直线l的方程为x=1，点O到直线l的距离为1点O到直线l的距离的最小值为2016年7月30日
