1、第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1. 已知变换T：，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A1. 解：由T：，得A.设A1，则AA1，所以解得所以A1.2. 已知矩阵A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为.求实数a，b的值解：由条件知，A2，即2，即，所以 解得3. 已知a，bR，若点M(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到点N(2，7)，求矩阵A的特征值解：由题意得，即解得所以A，所以矩阵A的特征多项式为f()2815.令f()0，解得5或3，即矩阵A的特征值为5和3.4. 已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2，求矩阵A
2、.解：由特征值、特征向量定义可知，A111，即1，得同理可得解得因此矩阵A.5. 已知矩阵A，A的逆矩阵A1，求A的特征值解：AA1 , ，则解得 A ，A的特征多项式f()(3)(1)令f()0，解得3或1. A的特征值为3和1.6. 已知矩阵A.若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵的另一个特征值解：因为3，则解得所以A.由f()(1)240，所以(1)(3)0，解得11，23.所以另一个特征值是1.7. 已知a，bR，矩阵A，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1，属于特征值5的一个特征向量为2.求矩阵A，并写出A的逆矩阵解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1，得， 3ab3
3、.由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为2，得5， ab5.联立，解得即A. A的逆矩阵A1.8. 设是矩阵M的一个特征向量(1) 求实数a的值；(2) 求矩阵M的特征值 解：(1) 设是矩阵M属于特征值的一个特征向量，则，故解得 a1.(2) 令f()(1)(2)60，解得 14，21.9. 已知矩阵A将直线l：xy10变换成直线l.(1) 求直线l的方程；(2) 判断矩阵A是否可逆若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A1；若不可逆，请说明理由解：(1) 在直线l上任取一点P(x0，y0)，设它在矩阵A对应的变换作用下变为Q(x，y) ， 即 点P(x0，y0)在直线l：xy10上， 10，即直线l的方程为4xy70.(2) det(A)70， 矩阵A可逆设A1， AA1，解得 A1.10. 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，5)在矩阵M对应的变换作用下得到点Q(y2，y)，求M1.解：依题意，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M的逆矩阵M1，所以M1.11.已知向量是矩阵A属于特征值1的一个特征向量在平面直角坐标系xOy中，点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3，3)，求矩阵A.解：设A，因为向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量，所以(1).所以因为点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3，3)，所以，所以解得所以A.
