1、2.2.2向量减法运算及其几何意义目标 1.知道相反向量的定义2.记住向量减法法则及其几何意义3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差重点 向量减法法则及其几何意义难点 向量减法法则及其几何意义的应用知识点一 相反向量 填一填(1)我们规定，与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.(2)(a)a，a(a)(a)a0.(3)零向量的相反向量仍是零向量，即00.答一答1(1)相反向量就是方向相反的向量吗？(2)若|a|b|，则ab或ab吗？提示：(1)不是相反向量是方向相反且长度相等的向量(2)若|a|b|，则a，b不一定共线，有可能ab且ab.知识点二 向量的减法及其几何意义 填
2、一填1向量减法的定义我们定义，aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量2向量减法的几何意义(1)三角形法则如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，即ab可以表示为从向量b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义(2)平行四边形法则如图，设向量b，a，则b，由向量减法的定义，知a(b)ab.又ba，所以ab.如图，理解向量加、减法的平行四边形法则：在ABCD中，a，b，则ab，ab. 答一答2在代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？提示：含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量，仍得到向量等式移项法则对向量等式也是适用的3类
3、似于向量和的三角形不等式，向量差是否也存在三角形不等式呢？提示：向量差也存在三角形不等式对于任意a，b，不等式|a|b|ab|a|b|成立，并且当a，b同向且|a|b|，|a|b|ab|.当a，b共线且反向时，|ab|a|b|.4计算.解析：因为()，()，故.类型一 向量减法的几何意义 例1如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，.解四边形ACDE为平行四边形，c，ba.bac.ca，cb.解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题.要特别注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.变式训练1设O为四边形ABC
4、D的对角线AC与BD的交点，若a，b，c，则abc.解析：由于，而ab，c，所以abc.类型二 向量减法的运算 例2化简：(1)()()；(2)；(3)()()分析解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简解(1)解法一：原式()().解法二：原式()0.(2)解法一：原式.解法二：原式().(3)解法一：()()()0.解法二：原式()()0.满足下列两种形式时可以化简：(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.变式训练2化简：(1)；(2)()()()解：(1)0.(2)()()()()().类
5、型三 向量减法的应用 例3若O是ABC所在平面内一点，且满足|，证明ABC是直角三角形证明因为，又|，所以|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形，所以ABAC，所以ABC是直角三角形(1)利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.变式训练3已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，M是斜边AB的中点，a，b.求证：(1)|ab|a|.(2)|a(ab)|b|.证明：在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得|，|
6、.(1)在ACM中，ab.于是由|，得|ab|a|. (2)在MCB中，ab，所以abaa(ab)从而由|，得|a(ab)|b|.1若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是(C)Aab B|a|b|C|a|b| Dba解析：长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，选项C错误2在平行四边形ABCD中，等于(D)A. B.C. D.解析：()，故选D.3在ABC中，D是BC的中点，设c，b，a，d，则dac，dab.解析：dac，dab.4已知D是ABC的边AB的中点，则.解析：由已知可得.5如图，已知a，b，c，d，f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(
7、5).解：(1)ca.(2)da.(3)db.(4)bafc.(5)()fd.本课须掌握的三大问题1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆3以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量a，b，则两条对角线表示的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住学科素养培优精品微课堂|ab|与|a|，|b|的关系开讲啦 (1)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b
8、方向相反且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相同时，|ab|a|b|.(2)在公式|a|b|ab|a|b|中，当a与b方向相同，且|a|b|时，|a|b|ab|；当a与b方向相反时，|ab|a|b|.典例已知|6，|9，求|的取值范围分析本题利用不等式|a|b|ab|a|b|，注意分析向量和的方向解|，且|9，|6，3|15.当与同向时，|3；当与反向时，|15.|的取值范围为3,15针对训练已知|a|6，|b|14，|c|3，求|abc|的最大值和最小值解：根据三角形法则，可知|b|a|ab|a|b|，|abc|a|b|c|23.且当a，b，c同向时，|abc|a|b|c|，此时|abc|有最大值23.又因为|abc|ac|b|，当a，c同向且与b异向时，|abc|最小，此时|abc|有最小值5.故|abc|的最大值为23，最小值为5.
